Question

【題目】如圖1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D。

（1）求證： ；

（2）由（1）中的結(jié)論可知，等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角∠A的大小確定時，它的對邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定，我們把這個比值記作T(A)，即，如T(60°)=1.

①理解鞏固：T(90°)= ，T(120°)= ，若α是等腰三角形的頂角，則T(α)的取值范圍是 ；

②學(xué)以致用：如圖2，圓錐的母線長為9，底面直徑PQ=8，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長（精確到0.1）。

（參考數(shù)據(jù)：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） 0<T(a)<2 11.6

【解析】試題分析：（1）證明△ABC∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；

②根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的知識和扇形的弧長公式計(jì)算，得到扇形的圓心角，根據(jù)T（A）的定義解答即可．

試題解析：（1）∵AB=AC，DE=DF，

∴，

又∵∠A=∠D，

∴△ABC∽△DEF，

∴；

（2）①如圖1，∠A=90°，AB=AC，

則，

∴T（90°）=，

如圖2，∠A=120°，AB=AC，

作AD⊥BC于D，

則∠B=30°，

∴BD=AB，

∴BC= AB，

∴T（120°）=

∵AB-AC＜BC＜AB+AC，

∴0＜T（α）＜2，

②∵圓錐的底面直徑PQ=8，

∴圓錐的底面周長為8π，即側(cè)面展開圖扇形的弧長為8π，

設(shè)扇形的圓心角為n°，

則=8π，

解得，n=160，

∵T（80°）≈1.29，

∴螞蟻爬行的最短路徑長為1.29×9≈11.6．