Question

已知拋物線上有不同的兩點(diǎn)E和F．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長(zhǎng)為m（m＞0），BC的長(zhǎng)為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)m，n為何值時(shí)，∠PMQ的邊過(guò)點(diǎn)F．

　　

Answer 1

解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為．　
∵　拋物線上不同兩個(gè)點(diǎn)E和F的縱坐標(biāo)相同，
∴　點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則　，且k≠－2．
∴　拋物線的解析式為．　　　　　　　　　　　
（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（4，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），
∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　
在∠PMQ繞點(diǎn)M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直線AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴　∠BCM＝∠AMD．
故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　，即　，．
故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為（m＞0）．　　　　　　　　　　
（3）∵　F在上，
　　 ∴　，
　　化簡(jiǎn)得，，∴　k₁＝1，k₂＝3．　　　　
　　即F₁（－2，0）或F₂（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　
　�、�MF過(guò)M（2，2）和F₁（－2，0），設(shè)MF為，
　　則　　　解得，　∴　直線MF的解析式為．
　　直線MF與x軸交點(diǎn)為（－2，0），與y軸交點(diǎn)為（0，1）．
　　若MP過(guò)點(diǎn)F（－2，0），則n＝4－1＝3，m＝；
　　若MQ過(guò)點(diǎn)F（－2，0），則m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　
　�、�MF過(guò)M（2，2）和F₁（－4，－8），設(shè)MF為，
　　則　　解得，　∴　直線MF的解析式為．
　　直線MF與x軸交點(diǎn)為（，0），與y軸交點(diǎn)為（0，）．
　　若MP過(guò)點(diǎn)F（－4，－8），則n＝4－（）＝，m＝；
　　若MQ過(guò)點(diǎn)F（－4，－8），則m＝4－＝，n＝．　　
　故當(dāng)　　或時(shí)，∠PMQ的邊過(guò)點(diǎn)F．