Question

如圖，半徑OC⊥弦AB于E，過(guò)B作⊙O的切線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，已知BD=8，OD=10，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求⊙O的半徑；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至時(shí)，弦AC與弦BP有何關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至BO的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連OB，如圖，
∵BD為⊙O的切線，
∴OB⊥DB，即∠OBD=90°，
在Rt△OBD中，OD=10，BD=8，
∴OB²+BD²=OD²，
∴OB==6，
即⊙O的半徑為6；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至時(shí)，弦AC∥弦BP．理由如下：
∵半徑OC⊥弦AB，
∴弧AC=弧BC，
∵弧AP=弧AC，
∴弧BC=弧AP，
∴∠CAB=∠ABP，
∴AC∥BP；

（3）如圖，
∵BP為⊙O的直徑，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，
而OE⊥AB，
∴OD∥AP，
∴∠P=∠DOB，
∴Rt△APB∽R(shí)t△BOD，
∴AP：OB=BP：OD，即AP：6=12：10，
∴AP=．
分析：（1）連OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥DB，即∠OBD=90°，在Rt△OBD中利用勾股定理即可計(jì)算出OB的長(zhǎng)；
（2）半徑OC⊥弦AB，根據(jù)垂徑定理得弧AC=弧BC，由得弧BC=弧AP，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB=∠ABP，根據(jù)平行的判定即可得到AC∥BP；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至BO的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)圓周定理的推論得到∠PAB=90°，易得OD∥AP，則∠P=∠DOB，易證得Rt△APB∽R(shí)t△BOD，然后利用相似比即可計(jì)算出AP的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；也考查了圓周角定理及其推論、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．