Question

【題目】有三個函數(shù)，對于同一個自變量x，對應的函數(shù)值分別為，若恰好有，則稱y為的“中值函數(shù)”.

（1）若的圖像為直線，的圖像是拋物線，則它們的中值函數(shù)的圖像為（ ）

A.直線 B.拋物線 C.雙曲線 D.以上答案均錯

（2）若、它們的中值函數(shù)為，

①若點P在、和它們的中值函數(shù)圖像上，則點P的坐標為_________.

②在如圖中，畫出上述中值函數(shù)的大致圖象.并根據(jù)圖象寫出這個中值函數(shù)的兩條性質(zhì)；

性質(zhì)1：_______________________________；

性質(zhì)2：_______________________________；

③利用中值函數(shù)的性質(zhì)說明：面積為1的長方形，當該長方形長與寬相等時，周長最小.

Answer 1

【答案】（1）B；（2）①（1，2），②性質(zhì)1：當x=1時，中值函數(shù)y的值最小為2；

性質(zhì)2：當0<x<1時，中值函數(shù)y隨x的增大而減��；③見詳解

【解析】

（1）根據(jù)題意設，則根據(jù)可判斷y的函數(shù)圖像；

（2）①根據(jù)點P在、和它們的中值函數(shù)圖像上，聯(lián)立方程即可求出點P的坐標；②根據(jù)中值函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象觀察即可得出性質(zhì)即可；③設長為x，則寬為，則周長，根據(jù)中值函數(shù)性質(zhì)即可求解.

解：（1）依題意設

則

∴y依然是二次函數(shù)則中值函數(shù)的圖像為拋物線

故選B；

（2）①點P在、和它們的中值函數(shù)圖像上

∴解得

∴

則點P的坐標為（1，2）；

②根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象如下：

性質(zhì)1：當x=1時，中值函數(shù)y的值最小為2；

性質(zhì)2：當0<x<1時，中值函數(shù)y隨x的增大而減��；

（3）設長為x，則寬為，則周長

由中值函數(shù)的定義可知，c為的中值函數(shù)

由性質(zhì)可知，當即時，c取得最小值

∴

∴（-1舍去）

即改長方形為正方形時，周長最小.