Question

6．如圖1，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點C，AD⊥CD于點D，交⊙O于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若4AB=5AD，求證：AE=3DE；
（3）如圖2，在（2）的條件下，CF交⊙O于點F，若AB=10，∠ACF=45°，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖1①，易證OC∥AD，只需結合OA=OC就可解決問題；
（2）連接BC、EC、OC，如圖1②，設AB=5x，由4AB=5AD可得AD=4x，易證△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質可求出DC²（用x表示），然后運用切割線定理求出DE，即可得到AE，問題得以解決；
（3）過點A作AH⊥FC，連接AF，如圖2，由條件AB=10可求出x，從而可求出AC、AF，然后只需解△ACF就可解決問題．

解答 解：（1）連接OC，如圖1①，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD=∠ACO．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠CAD=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）連接BC、EC、OC，如圖1②，
設AB=5x，則由4AB=5AD可得AD=4x．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC²=AD•AB=20x²，
∴DC²=AC²-AD²=20x²-16x²=4x²．
∵直線CD與⊙O相切，
∴根據(jù)切割線定理可得CD²=DE•DA，
∴4x²=DE•4x，
∴DE=x，
∴AE=3x=3DE；

（3）過點A作AH⊥FC，連接AF，如圖2，
∵AB=5x=10，
∴OA=OF=5，x=2，
∴AC²=20x²=80，
∴AC=4$\sqrt{5}$．
∵∠ACF=45°，
∴AH=AC•sin∠ACH=4$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{10}$，
CH=AC•cos∠ACH=4$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{10}$．
∵∠AOF=2∠ACF=90°，
∴AF=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴FH=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴FC=CH+FH=3$\sqrt{10}$，
即CF的長為3$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查了切線的性質、圓周角定理、切割線定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質、勾股定理、解三角形、平行線的判定與性質等知識，把求CF轉化為解△ACF是解決第（3）小題的關鍵．