Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，F(xiàn)在邊AC上，且∠EDF=90°．
（1）當(dāng)E在何處時(shí)，線段EF的長最短；
（2）根據(jù)（1）的推理過程及所學(xué)知識(shí)，請你寫出該題的一個(gè)變式．（不要求證明）

Answer 1

考點(diǎn)：等腰直角三角形,兩點(diǎn)間的距離,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）連接AD．根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，證明△CDF≌△ADE，得△DEF為等腰直角三角形，因此EF=

2

DE．當(dāng)DE最小時(shí)，EF最�。�根據(jù)“垂線段最短”知E是AB中點(diǎn)時(shí)，EF最短．
（2）已知等腰Rt△ABC中一邊的長度，可求EF的最小值．

解答：解：（1）連接AD．
∵Rt△ABC中，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∠DAE=∠C=45°，AD=CD=BD．
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE=90°-∠ADF=∠CDF．
∴△CDF≌△ADE，（ASA）
∴DE=DF．
∴EF=

DE2+DF2

=

2

DE．
∴當(dāng)DE最短時(shí)，EF最短．
當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最短．
∵AD=DB，
∴當(dāng)DE⊥AB時(shí)，E為AB的中點(diǎn)．
∴當(dāng)E是AB中點(diǎn)時(shí)，EF最短．

（2）若AB=1，求EF的最小值．

點(diǎn)評：此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，涉及最小值的分析和求解及發(fā)散思維與創(chuàng)新，綜合性較強(qiáng)，難度較大．