【題目】在平面直角坐標系xOy中,⊙O的半徑為r(r>0).給出如下定義:若平面上一點P到圓心O的距離d,滿足r,則稱點P為⊙O的“隨心點”.
(1)當⊙O的半徑r=2時,A(4,0),B(0,3),C(,﹣),D(﹣,﹣2)中,⊙O的“隨心點”是 ;
(2)若點E(6,8)是⊙O的“隨心點”,求⊙O的半徑r的取值范圍;
(3)當⊙O的半徑r=4時,直線y=﹣x+b(b≠0)與x軸交于點M,與y軸交于點N,若線段MN上存在⊙O的“隨心點”,直接寫出b的取值范圍 .
【答案】(1)B,D;(2)≤r≤20;(3)2≤b≤6或﹣6≤b≤﹣2
【解析】
(1)分別判斷A、B、C、D四個點到圓心O的距離是否符合規(guī)定即可;
(2)先算出OE長度,再根據(jù)“隨心點“的定義列出不等式組解出r的取值范圍;
(3)r已知,因此先算出r和r的值,由解析式y=﹣x+b可得M、N坐標,由于直線y=x與y=﹣x+b垂直,故聯(lián)立兩直線方程可解出交點P的坐標,然后用兩點間的距離公式可得OP長度(注意b的符號未知,表示長度應加絕對值符號),線段MN上存在“隨心點“,則意味著OM≥2且OP≤6,列出不等式組即可解出b的取值范圍.
解:(1)∵r=2,
∴r=1,r=3,
∵A(4,0),
∴OA=4>3,
∴A不是“隨心點”;
∵B(0,3),
∴OB=3,
∴B是“隨心點”;
∵C(,﹣),
∴OC==<1,
∴C不是“隨心點”;
∵D(﹣,﹣2),
∴OD==,
∴D是“隨心點”;
綜上所述,⊙O的“隨心點”是B、D,
故答案為:B、D;
(2)∵E(6,8),
∴OE==10,
因為E是⊙O的“隨心點”,
∴r≤OE≤r,即r≤10≤r,
解得≤r≤20;
(3)∵r=4,
∴r=2,r=6,
直線y=﹣x+b(b≠0)與x軸交于點M,與y軸交于點N,
∴M(b,0),N(0,b),
過點O且與直線y=﹣x+b垂直的直線解析式為y=x,
聯(lián)立方程組:,解得:,
∴直線y=﹣x+b與直線y=x交點坐標為P(,),
∴OP=,
∵線段MN上存在⊙O的隨心點,
∴,
解得2≤b≤6或﹣6≤b≤﹣2.
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長是2,D、E分別為AB、AC的中點,延長BC至點F,使CF=BC,連接CD和EF.
(1)求證:DE=CF;
(2)求EF的長.
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【題目】如圖,△ABC中,點E在BC邊上.AE=AB,將線段AC繞點A旋轉到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.連接EF,EF與AC交于點G.
(1)求證:EF =BC;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度數(shù).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形是平行四邊形,,若,的長是關于的一元二次方程的兩個根,且.
(1)直接寫出:______,______;
(2)若點為軸正半軸上的點,且;
①求經(jīng)過,兩點的直線解析式;
②求證:.
(3)若點在平面直角坐標系內,則在直線上是否存在點,使以,,,為頂點的四邊形為菱形?若存在,直接寫出點的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,點E在線段CB的延長線上,連接DE交AB于點F,∠AED=2∠CED,點G是DF的中點.
(1)求證:AE=AG;
(2)若BE=2,BF=1,AG=5,點H是AD的中點,求GH的長.
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【題目】一個批發(fā)商銷售成本為20元/千克的某產(chǎn)品,根據(jù)物價部門規(guī)定:該產(chǎn)品每千克售價不得超過90元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)的售量y(千克)與售價x(元/千克)滿足一次函數(shù)關系,對應關系如下表:
售價x(元/千克) | … | 50 | 60 | 70 | 80 | … |
銷售量y(千克) | … | 100 | 90 | 80 | 70 | … |
(1)求y與x的函數(shù)關系式;
(2)該批發(fā)商若想獲得4000元的利潤,應將售價定為多少元?
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【題目】閱讀下列材料:
如圖1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,可以得到:
證明:過點A作AD⊥BC,垂足為D.
在Rt△ABD中,
∴
∴
同理:
∴
(1)通過上述材料證明:
(2)運用(1)中的結論解決問題:
如圖2,在中,,求AC的長度.
(3)如圖3,為了開發(fā)公路旁的城市荒地,測量人員選擇A、B、C三個測量點,在B點測得A在北偏東75°方向上,沿筆直公路向正東方向行駛18km到達C點,測得A在北偏西45°方向上,根據(jù)以上信息,求A、B、C三點圍成的三角形的面積.
(本題參考數(shù)值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,≈1.4,結果取整數(shù))
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【題目】在“母親節(jié)”期間,某校部分團員參加社會公益活動,準備購進一批許愿瓶進行
銷售,并將所得利潤捐給慈善機構.根據(jù)市場調查,這種許愿瓶一段時間內的銷售量y(個)于銷售單價x(元
/個)之間的對應關系如圖所示.
(1)試判斷y與x之間的函數(shù)關系,并求出函數(shù)關系式;
(2)若許愿瓶的進價為6元/個,按照上述市場調查銷售規(guī)律,求利潤w(元)與銷售單價x(元/個)之間的
函數(shù)關系式;
(3)若許愿瓶的進貨成本不超過900元,要想獲得最大利潤,試求此時這種許愿瓶的銷售單價,并求出
最大利潤.
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【題目】如圖在銳角中,,高,兩動點、分別在、上滑動(不包含端點),且,以為邊長向下作正方形,設,正方形與公共部分的面積為.
(1)如圖(1),當正方形的邊恰好落在邊上時,求的值.
(2)如圖(2),當落外部時,求出與的函數(shù)關系式(寫出的取值范圍)并求出為何值時最大,最大是多少?
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