Question

已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過點D作AC的平行線DE，交BA的延長線于點E．求證：
（1）△ABC≌△DCB；
（2）DE•DC=AE•BD．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB（等腰梯形的兩條對角線相等），
∵AB=DC（已知），BC=CB（公共邊），
∴△ABC≌△DCB（SSS）；

（2）由（1）知，△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠DCB（全等三角形的對應角相等）；
∵AD∥BC（已知），
∴∠DAC=∠ACB（兩直線平行，內錯角相等），∠EAD=∠ABC（兩直線平行，同位角相等）；
又∵ED∥AC（已知），
∴∠EDA=∠DAC（兩直線平行，內錯角相等），
∴∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB（等量代換），
∴△ADE∽△CBD，
∴DE：BD=AE：CD（相似三角形的對應邊成比例），
∴DE•DC=AE•BD．
分析：（1）利用全等三角形的判定定理SSS證明△ABC≌△DCB；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應角相等、平行線的性質可以推知∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，從而根據(jù)相似三角形的判定定理AA證得△ADE∽△CBD；最后利用相似三角形的對應邊成比例求得DE•DC=AE•BD．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及等腰梯形的性質．等腰梯形的兩個腰相等、兩條對角線相等．