Question

在等邊△ABC中，以BC為直徑的⊙O與AB交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）計算

CE

AE

．

Answer 1

考點：切線的判定,平行線的判定,等邊三角形的性質

專題：幾何圖形問題

分析：（1）連接OD，根據(jù)等邊三角形性質得出∠B=∠A=60°，求出等邊三角形BDO，求出∠BDO，∠A，推出OD∥AC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出AD=

1

2

AC，求出AE=

1

4

AC，CE=

3

4

AC，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接OD，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵OD=OB，
∴△OBD為等邊三角形，
∴∠BOD=60°=∠ACB，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠AED=90°，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：連接CD，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴AD=BD=

1

2

AB，
在Rt△AED中，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=

1

2

AD=

1

4

AC，CE=AC-AE=

3

4

AC，
∴

CE

AE

=3．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，平行線的判定，切線的判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．