Question

15．如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OE是∠BOD的平分線，OF是∠AOD的平分線．
（1）已知∠BOD=60°，求∠EOF的度數(shù)；
（2）求證：無論∠BOD為多少度，均有OE⊥OF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠BOD的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義可得∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=30°，進而可得∠EOF=∠DOF+∠DOE=90°；
（2）首先根據(jù)角平分線定義可得∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，再根據(jù)鄰補角定義可得∠AOD+∠DOB=180°，利用等量代換可得∠EOF=∠DOF+∠DOE=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠BOD）=90°．

解答 解：（1）∵∠BOD=60°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=120°，
∵OE、OF分別是∠AOD和∠BOD的平分線．
∴∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，
∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=30°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=90°；

（2）∵OE、OF分別是∠AOD和∠BOD的平分線．
∴∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵∠AOD+∠DOB=180°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠BOD）=90°，
∴無論∠BOD為多少度，均有OE⊥OF．

點評 此題主要考查了垂線，以及角平分線定義，關(guān)鍵是理清角之間的關(guān)系，掌握從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．