Question

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個(gè)邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）過矩形頂點(diǎn)B、C．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，如果a=-1，試求b的值；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式；
（3）將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過原點(diǎn)O．
①試求當(dāng)n=3時(shí)a的值；
②直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得到拋物線對(duì)稱軸為直線x=

1

2

，代入即可求出b；
（2）設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx+1，由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（2，1）和點(diǎn)M（

1

2

，2），把B、M的坐標(biāo)代入得到方程組

1=4a+2b+1 2= 1 4 a+ 1 2 b+1

，求出a、b的值即可得到拋物線解析式；
（3）①當(dāng)n=3時(shí)，OC=1，BC=3，設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx，過C作CD⊥OB于點(diǎn)D，則Rt△OCD∽R(shí)t△OBC，得出

OD

CD

=

OC

BC

=

1

3

，設(shè)OD=t，則CD=3t，根據(jù)勾股定理OD²+CD²=OC²，求出t，得出C的坐標(biāo)，把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得到方程組，求出a即可；
②根據(jù)（1）、（2）①總結(jié)得到答案．

解答：解：（1）∵拋物線過矩形頂點(diǎn)B、C，其中C（0，1），B（n，1）
∴當(dāng)n=1時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=

1

2

，
∴-

b

2a

=

1

2

，
∵a=-1，
∴b=1，
答：b的值是1．

（2）設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx+1，
由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（2，1）和點(diǎn)M（

1

2

，2），
則

1=4a+2b+1 2= 1 4 a+ 1 2 b+1

，
解得

a=- 4 3 b= 8 3 .

∴所求拋物線解析式為y=-

4

3

x2+

8

3

x+1，
答：此時(shí)拋物線的解析式是y=-

4

3

x2+

8

3

x+1．

（3）①當(dāng)n=3時(shí)，OC=1，BC=3，
設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx，
過C作CD⊥OB于點(diǎn)D，

則Rt△OCD∽R(shí)t△OBC，
∴

OD

CD

=

OC

BC

=

1

3

，
設(shè)OD=t，則CD=3t，
∵OD²+CD²=OC²，
∴（3t）²+t²=1²，
∴t=

1 10

=

10

10

，
∴C（

10

10

，

3

10

10

），
又∵B（

10

，0），
∴把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式，得

0=10a+ 10 b 3 10 10 = 1 10 a+ 10 10 b

，
解得：a=-

10

3

，
答：a的值是-

10

3

．

②答：a關(guān)于n的關(guān)系式是a=-

n2+1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題型較好綜合性強(qiáng)．