Question

【題目】如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個(gè)垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”．

（1）證明：ABCD=PBPD．
（2）如圖乙，也是一個(gè)“三垂圖”，上述結(jié)論成立嗎？請說明理由．
（3）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)（0，﹣3），頂點(diǎn)為P，如圖丙所示，若Q是拋物線上異于A、B、P的點(diǎn)，使得∠QAP=90°，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠D=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴ = ，

∴ABCD=PBPD

（2）

ABCD=PBPD仍然成立．

理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠CDP=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴ = ，

∴ABCD=PBPD

（3）

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)（0，﹣3），

∴ ，

解得 ，

所以，y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4），

過點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，設(shè)AQ與y軸相交于D，

則AO=1，AC=1+1=2，PC=4，

根據(jù)（2）的結(jié)論，AOAC=ODPC，

∴1×2=OD4，

解得OD= ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0， ），

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），

則 ，

解得 ，

所以，y= x+ ，

聯(lián)立 ，

解得 ， （為點(diǎn)A坐標(biāo)，舍去），

所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得證；（2）與（1）的證明思路相同；（3）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再過點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，設(shè)AQ與y軸相交于D，然后求出PC、AC的長，再根據(jù)（2）的結(jié)論求出OD的長，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．