Question

已知：如圖，在△OAP中，OA=6，sin∠POA=，cot∠PAO=，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、A、P三點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）在x軸的下方，且在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M，使得△MOP與△AOP的面積相等．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為點(diǎn)H，將原圖分為兩個(gè)直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義，列方程求解；
（2）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，由O、A、P三點(diǎn)坐標(biāo)代入，列方程求a、b、c的值，確定拋物線解析式；
（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式可知，對(duì)稱軸為x=3，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，y），二次函數(shù)的對(duì)稱軸與OP相交于點(diǎn)C，由P點(diǎn)坐標(biāo)可求直線OP解析式，把x=3代入可求C點(diǎn)坐標(biāo)，由S_△MOP=S_△COM+S_△PCM，S_△MOP=S_△AOP，列方程求M點(diǎn)縱坐標(biāo)y即可．
解答：解：（1）過點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為點(diǎn)H．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則OH=x，PH=y． （1分）
∵，∴tan．∴．∴． （1分）
∵cot，∴．∴． （1分）
∵OA=OH+AH=6，∴． （1分）
∴y=3．∴x=4．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）． （1分）
（2）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c．
由題意，得（1分）
解得（1分）
∴所求二次函數(shù)的解析式為． （1分）
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，y），二次函數(shù)的對(duì)稱軸與OP相交于點(diǎn)C．
由題意，得 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）． （1分）
∴S_△MOP=S_△COM+S_△PCM=．
（1分）
而S_△MOP=S_△AOP，S_△AOP=，（1分）
∴．∴．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，）． （1分）
另解：設(shè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B，連接MA．
∵△MOP與△AOP的面積相等，且OP是公共邊，
∴點(diǎn)M到OP與點(diǎn)A到OP的距離相等． （1分）
∴AM∥OP．
∴∠MAB=∠POA．（1分）
∴tan∠MAB=tan．
∵AB=3，∴． （1分）
∴．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，）． （1分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用直角三角形的邊角關(guān)系求點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、A、P三點(diǎn)，求拋物線解析式，根據(jù)三角形面積相等，列方程求M點(diǎn)的坐標(biāo)．