Question

1．如圖1，函數(shù)y=-x+4的圖象與坐標軸交于A、B兩點，點M（2，m）是直線AB上一點，點N與點M關(guān)于y軸對稱．
（1）填空：m=2；
（2）點P在平面上，若以A、M、N、P為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點P的坐標；
（3）如圖2，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過N、E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）三點．且x₁＞x₂，點E、F關(guān)于原點對稱，若點E到直線MN的距離是點F到直線MN的距離的3倍，求E、F兩點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由點M的橫坐標利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）連接AN，分別以△AMN的三條邊為對角線找平行四邊形，由直線AB的解析式可找出點A的坐標，再由M、N關(guān)于y軸對稱即可得出點N的坐標，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，結(jié)合點A、M、N的坐標即可得出點P的坐標；
（3）根據(jù)點N的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數(shù)的解析式，由點E、F關(guān)于原點對稱，可得出x₁=-x₂，y₁=-y₂，再根據(jù)M、N的坐標求出直線MN的關(guān)系式，分點F在直線MN的上方或下方兩種情況，結(jié)合點E到直線MN的距離是點F到直線MN的距離的3倍，即可得出y₁、y₂的關(guān)系，由此即可得出點E、F的坐標．

解答 解：（1）∵點M（2，m）是直線AB：y=-x+4上一點，
∴m=-2+4，解得：m=2．
故答案為：2．
（2）連接AN，以A、M、N、P為頂點的平行四邊形分三種情況，如圖1所示．

∵直線y=-x+4的圖象與坐標軸交于A、B兩點，
∴A（4，0），B（0，4），
∵點N與點M關(guān)于y軸對稱，點M（2，2），
∴N（-2，2）．
以A、M、N、P為頂點的平行四邊形分三種情況：
①當(dāng)線段AN為對角線時，
∵A（4，0）、M（2，2）、N（-2，2），
∴點P的坐標為（4-2-2，0+2-2），即（0，0）；
②當(dāng)線段AM為對角線時，
∵A（4，0）、M（2，2）、N（-2，2），
∴點P的坐標為（4+2-（-2），0+2-2），即（8，0）；
③當(dāng)線段MN為對角線時，
∵A（4，0）、M（2，2）、N（-2，2），
∴點P的坐標為（2-2-4，2+2-0），即（-4，4）．
綜上可知：若以A、M、N、P為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標為（0，0）、（8，0）或（-4，4）．
（3）∵反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過N（-2，2）、E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）三點，
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函數(shù)解析式為$y=-\frac{4}{x}$．
∵點E、F關(guān)于原點對稱，
∴x₁=-x₂，y₁=-y₂，
∵x₁＞x₂，
∴點E在第四象限，點F在第二象限．
直線MN的關(guān)系式為y=2，
點E到直線MN的距離是點F到直線MN的距離的3倍．
①當(dāng)點F在直線MN的上方時，
點E到直線MN的距離是：2-y₁，點F到直線MN的距離是：y₂-2，
∴3（y₂-2）=2-y₁，y₁=-y₂，
∴y₁=-4，y₂=4，
∴點E（1，-4），點F（-1，4）；
②當(dāng)點F在直線MN的下方時，
點E到直線MN的距離是：2-y₁，點F到直線MN的距離是：2-y₂，
∴3（2-y₂）=2-y₁，y₁=-y₂，
∴y₁=-1，y₂=1，
∴點E（4，-1），點F（-4，1）．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、平行四邊形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得出關(guān)于m的一元一次方程；（2）分別以△AMN的三條邊為對角線來討論；（3）結(jié)合數(shù)量關(guān)系找出E、F點縱坐標之間的關(guān)系．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形三個頂點的坐標求出另一頂點的坐標是關(guān)鍵．