Question

10．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F；若△CEF一邊的長為2，則△CEF的周長為（　　）

• A． 4+2$\sqrt{3}$
• B． 4+2$\sqrt{3}$或2+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$
• C． 2+2$\sqrt{3}$或2+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$
• D． 4+2$\sqrt{3}$或2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，進而可證明△EDC是等邊三角形，再根據(jù)當(dāng)CE=2或EF=2，結(jié)合勾股定理即可求△CEF的周長．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°，
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等邊三角形．
當(dāng)ED=DC=EC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4，
∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故△CEF的周長為2+2+2$\sqrt{3}$=4+2$\sqrt{3}$；
當(dāng)EF=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則EC+FC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故△CEF的周長為2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
故選：B．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用和30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，求出DF的長是解題關(guān)鍵．