Question

16．如圖1，已知拋物線于x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，AO=CO=5．過(guò)點(diǎn)A的直線l：y=kx+10交拋物線于點(diǎn)D，且D點(diǎn)橫坐標(biāo)為1．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)E為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，當(dāng)△AEF面積最大時(shí)，求△ODE的面積；
（3）如圖2，G、H在線段AB上，點(diǎn)G從點(diǎn)B向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)H從點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)且速度為點(diǎn)G的兩倍，當(dāng)G、H兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)G作x軸的垂線交拋物線于G₁，過(guò)H總x軸的垂線交AD于H₁，再分別以線段GG₁、HH₁為邊作圖2所示的等邊△HH₁H₂．當(dāng)?shù)冗叀鱃G₁G₂某一邊與等邊△HH₁H₂某一中位線在同一條直線上時(shí)，求線段GH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
（2）構(gòu)建二次函數(shù)求最大值求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用S_△ODE=S_△OAD-S_△OEA即可解決．
（3）正確畫(huà)出圖形，在情形①中，利用MH=$\frac{1}{2}$HH₁列出方程即可解決．在情形②中，利用MH=$\frac{1}{2}H{H}_{1}$列出方程即可．

解答 解：（1）∵直線l：y=kx+10經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0），
∴0=5k+10
∴k=-2，
∴直線l為y=-2x+10，
∵直線l：y=kx+10交拋物線于點(diǎn)D，且D點(diǎn)橫坐標(biāo)為1
∴D（1，8），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過(guò)A（5，0），C（0，5），D（1，8）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{25a+5b+5=0}\\{a+b+5=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x+5．
（2）∵點(diǎn)E在直線AD上，
∴可以設(shè)E（m，-2m+10），
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•m•（-2m+10）=-m²+5m，
∴當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時(shí)，△AEF面積最大，
此時(shí)E（$\frac{5}{2}$，5），
∴S_△ODE=S_△OAD-S_△OEA=$\frac{1}{2}$×5×8-$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{15}{2}$．
（3）情形①：如圖1中，GG₂和HH₂交于點(diǎn)M，當(dāng)MH=MH₂時(shí)，△GG₁G₂的邊和△HH₁H₂的中位線在同一直線上．
作MN⊥GH，DK⊥OA，垂足分別為N、K．設(shè)BG=a則AH=2a，GH=6-3a，
∵HH₁⊥OA，DK⊥OA，
∴HH₁∥DK，
∴$\frac{AH}{AK}=\frac{H{H}_{1}}{DK}$，
∴$\frac{2a}{4}=\frac{H{H}_{1}}{8}$，
∴HH₁=4a，
∵∠G₁GG₂=∠H₂HH₁，=60°，
∴∠MGH=∠MHG=30°，
∴MH=MG，NH=NG=$\frac{1}{2}$（6-3a），
∴MH=HN÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（2-a），
∴$\sqrt{3}$（2-a）=2a，
∴a=4$\sqrt{3}$-6，
∴HG=6-3a=24-12$\sqrt{3}$．
情形②：如圖2中，GG₁和HH₂交于點(diǎn)M，當(dāng)MH=MH₂時(shí)，△GG₁G₂的邊和△HH₁H₂的中位線在同一直線上．
在RT△MHG中，由①可知GH=6-3a，∠MHG=30°，
∴MH=GH$÷\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（2-a），
∴MH=$\frac{1}{2}H{H}_{1}$，
∴2$\sqrt{3}$（2-a）=2a，
∴a=3-$\sqrt{3}$，
∴GH=6-3a=3$\sqrt{3}$-3，
綜上所述GH=24-12$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)最大值問(wèn)題、三角形面積問(wèn)題、解直角三角形等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定難度，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，另外正確畫(huà)出圖象也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．