Question

（2001•黃岡）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（4，-3），B（2，1）和C（-1，-8）三點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式以及它的圖象與x軸的交點(diǎn)M，N（M在N的左邊）的坐標(biāo)．
（2）若以線段MN為直徑作⊙G，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作⊙G的切線OD，切點(diǎn)為D，求OD的長(zhǎng)．
（3）求直線OD的解析式．
（4）在直線OD上是否存在點(diǎn)P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（只需寫出結(jié)果，不必寫出解答過(guò)程）；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)圖象上三個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；再令函數(shù)值為0，就能求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)（注意它們的位置）．
（2）在（1）題中，已經(jīng)求得了M、N的坐標(biāo)，則線段OM、ON的長(zhǎng)可知，直接利用切割線定理即可求出OD的長(zhǎng)．
（3）利用待定系數(shù)法求直線OD的解析式，必須先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；連接圓心和切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線OE（垂足為E），首先由半徑長(zhǎng)和OD的長(zhǎng)求出∠DOG的度數(shù)，然后在Rt△ODE中，通過(guò)解直角三角形求出DE、OE的長(zhǎng)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)可知，由此得解（需要注意的是：點(diǎn)D可能在x軸上方，也可能在x軸下方，所以直線OE的解析式應(yīng)該有兩個(gè)）．
（4）在（3）中，已經(jīng)知道共有兩條直線OD，所以要分兩種大的情況討論，它們的解答方法是一致的，以點(diǎn)P在x軸上方為例進(jìn)行說(shuō)明：
①當(dāng)點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)時(shí)，MP所在直線與x軸垂直，即M、P的橫坐標(biāo)相同，直接將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入直線OD的解析式中即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，由圓周角定理知：（2）題的切點(diǎn)D正好符合點(diǎn)P的條件；
③當(dāng)點(diǎn)N是直角頂點(diǎn)時(shí)，方法同①．

解答：解：（1）設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，∵拋物線經(jīng)過(guò)A（4，-3），B（2，1）和C（-1，-8）三點(diǎn)，
∴

-3=16a+4b+c 1=4a+2b+c -8=a-b+c.

解之，得

a=-1 b=4 c=-3

∴拋物線為y=-x²+4x-3，令y=0，得-x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3．
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，0），N（3，0）．

（2）過(guò)原點(diǎn)O作⊙G的切線，切點(diǎn)為D．易知OM=1，ON=3．由切割線定理，得OD²=OM•ON=1×3．
∴OD=

3

，即所求的切線OD長(zhǎng)為

3

．

（3）如右圖，連接DG，則∠ODG=90°，DG=1．∵OG=2，∴∠DOG=30°．
過(guò)D作DE⊥OG，垂足為E，則DE=OD•sin30°=

3

2

，DE=OD•cos30°=

3

2

．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（

3

2

，

3

2

）或（

3

2

，-

3

2

）．從而直線OD的解析式為y=±

3

3

x．

（4）Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)；
①點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)，此時(shí)MP1⊥x軸，即M、P1的橫坐標(biāo)相同；
當(dāng)x=1時(shí)，y=

3

3

x=

3

3

；
即 P₁（1，

3

3

）；
②當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，由（2）知，P₂、D重合，即P₂（

3

2

，

3

2

）；
③當(dāng)點(diǎn)N是直角頂點(diǎn)，同①可求得 P₃（3，

3

）．
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同Ⅰ可知：P₄（1，-

3

3

），P₅（

3

2

，-

3

2

），P₆（3，-

3

）．
綜上，在直線OD上存在點(diǎn)P，使△MNP是直角三角形．所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，±

3

3

），或（3，±

3

），或（

3

2

，±

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題是幾何與代數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，在考查常規(guī)知識(shí)的同時(shí)，結(jié)合圓的對(duì)稱性等滲透了分類討論思想．解答（3）（4）問(wèn)時(shí)，解題者常拘泥于習(xí)慣性思維，只考慮到在x軸上方的切線OD和以P為直角頂點(diǎn)的Rt△MNP這些常見(jiàn)情形，從而導(dǎo)致丟解．作為壓軸題，本題（4）問(wèn)顯示出了層次性，由易到難，逐步深入，體現(xiàn)了命題者的匠心．