Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E為CD邊上一點(diǎn)，CE=6．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求△ADE的周長(zhǎng)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAE為直角三角形？

（3）是否存在這樣的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）t=6或t=；（3）t=；

【解析】

（1）在直角△ADE中，利用勾股定理進(jìn)行解答；

（2）先利用勾股定理表示出PE2，在Rt△PAE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解即可得出結(jié)論；

（3）利用角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及等量代換推知：∠PEA=∠EAP，則PE=PA，由此列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程求得相應(yīng)的t的值即可．

解:（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，

∴CD=AB=9，∠D=90°，

∴DE=9﹣6=3，

∴AE===5；

∴△ADE的周長(zhǎng)為3+4+5=12

（2）①若∠EPA=90°，t=6；

②若∠PEA=90°，（6﹣t）2+42+52=（9﹣t）2，

解得t=．

綜上所述，當(dāng)t=6或t=時(shí)，△PAE為直角三角形；

（3）假設(shè)存在．

∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．

∵CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAP，

∴∠PEA=∠EAP，

∴PE=PA，

∴（6﹣t）2+42=（9﹣t）2，

解得t=．

∴滿足條件的t存在，此時(shí)t=．