Question

設(shè)A是給定的正有理數(shù)．
（1）若A是一個(gè)三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形的面積，證明：一定存在3個(gè)正有理數(shù)x、y、z，使得x²-y²=y²-z²=A．
（2）若存在3個(gè)正有理數(shù)x、y、z，滿足x²-y²=y²-z²=A，證明：存在一個(gè)三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于A．

Answer 1

解：（1）設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊長(zhǎng)，a，b，c都是有理數(shù)，且a²+b²=c²，ab=A，
若a=b，則2a²=c²，=，這與a，c都是有理數(shù)的假定矛盾，故a≠b．
不妨設(shè)a＜b，取x=，y=，z=，則x，y，z都是有理數(shù)，
且x²-y²==ab=A，y²-z²==ab=A．

（2）設(shè)三個(gè)有理數(shù)x，y，z滿足x²-y²=y²-z²=A，則x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，則a，b，c都是有理數(shù)，
且a²+b²=2（x²+z²）=4y²=c²，ab=（x²-z²）=[（x²-y²）+（y²-z²）]=A．
即存在一個(gè)三邊長(zhǎng)a，b，c都是有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于A．
分析：（1）設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊長(zhǎng)，a，b，c都是有理數(shù)，且a²+b²=c²，ab=A，由若a=b，求得=，可知a≠b；所以設(shè)a＜b，x=，y=，z=即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)三個(gè)有理數(shù)x，y，z滿足x²-y²=y²-z²=A，則x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，代入檢驗(yàn)即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了有理數(shù)知識(shí)與完全平方式的應(yīng)用．題目難度較大，注意構(gòu)造符合要求的有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．