已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A的坐標(biāo)為(-1,0),對稱軸為直線x﹦-2,點C是拋物線與y軸的交點,點D是拋物線上另一點,已知以O(shè)C為一邊的矩形OCDE的面積為8.
(1)寫出點D坐標(biāo)并求此拋物線的解析式;
(2)若點P是拋物線在x軸上方的一個動點,且始終保持PQ⊥x軸,垂足為點Q,是否存在這樣的點,使得△PQB∽△BOC?若存在求出點P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
考點:二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)根據(jù)矩形OCDE的面積為8和拋物線對稱軸為直線x﹦-2,可得點C坐標(biāo),進(jìn)一步得到點D坐標(biāo);再根據(jù)拋物線的交點式,利用待定系數(shù)法得到拋物線的解析式;
(2)分點P在對稱軸的左邊和點P在對稱軸的右邊兩種情況討論,可求點P的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵矩形OCDE的面積為8,拋物線對稱軸為直線x=-2,
∴OE=4,
∴OC=8÷4=2,
∴點C坐標(biāo)為(0,2),
∴點D坐標(biāo)為(-4,2),
∵點A的坐標(biāo)為(-1,0),
∴點B的坐標(biāo)為(-3,0),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x+3),
把點C坐標(biāo)代入得3a=2,
解得a=
2
3

故拋物線解析式為y=
2
3
(x+1)(x+3)=
2
3
x2+
8
3
x+2;
(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,
2
3
m2+
8
3
m+2),
①點P在對稱軸的左邊時,
∵△PQB∽△BOC,
2
3
m2+
8
3
m+2
-3-m
=
3
2
,
解得m1=-
13
4
,m2=-3(不合題意舍去),
2
3
m2+
8
3
m+2=
3
8
,
∴點P的坐標(biāo)(-
13
4
,
3
8
);
②點P在對稱軸的右邊時,
∵△PQB∽△BOC,
2
3
m2+
8
3
m+2
m+3
=
3
2
,
解得m1=
5
4
,m2=-3(不合題意舍去),
2
3
m2+
8
3
m+2=
51
8
,
∴點P的坐標(biāo)(
5
4
51
8
).
綜上所述,點P的坐標(biāo)(-
13
4
3
8
)或(
5
4
,
51
8
).
點評:考查了二次函數(shù)綜合題,涉及的知識點為:拋物線的軸對稱性,矩形的面積計算,待定系數(shù)法求拋物線的解析式,相似三角形的判定和性質(zhì),綜合性較強(qiáng),有一定的難度.
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x
2
=
y
3
=
z
4
,則
2x+3y+z
x
的值為
 

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