Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+（m+2）x+ 與x軸交于A（﹣2﹣n，0），B（4+n，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）以點B為直角頂點作直角三角形BCE，斜邊CE與拋物線交于點P，且CP=EP，求點P的坐標；
（3）將△BOC繞著它的頂點B順時針在第一象限內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α，旋轉(zhuǎn)后的圖形為△BO′C′．當旋轉(zhuǎn)后的△BO′C′有一邊與BD重合時，求△BO′C′不在BD上的頂點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意﹣2﹣n+4+n=m+2，

解得m=0，

∴y=﹣x2+2x+3

（2）解：如圖1中，設P（m，﹣m2+2m+3）．易知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

∵PC=PE，∠CBE=90°，

∴PB=PC=PE，

∴m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，

整理得：m2﹣m﹣3=0，

∴m= ，

∴P（ ， ）或P（ ， ）

（3）解：如圖2中，當BC′與BP重合時，過點O′作O′D⊥OB于D．

因為∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，

所以∠ABO′=∠PBC．

則△DBO′∽△CBP，

所以 = ，

所以 = ，

所以BD=3O′D．

設O′D=x，則BD=3x，根據(jù)勾股定理，得x2+（3x）2=32，

解得x= ，

所以BD= ，

所以點O′的坐標為（3﹣ ， ）．

如圖3中，當BO′與BP重合時，過點B作x軸的垂線BE，過點C′作C′E⊥BE于E，

因為∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，

所以∠EBC′=∠PBC．

所以△EBC′∽△CBP，

所以 = ，

所以 = ，

所以BE=3C′E．

設C′E為y，則BE=3y，根據(jù)勾股定理，

得y2+（3y）2=（3 ）2，

解得y= ，

所以BE= ，

所以C′的坐標為（3+ ， ）

【解析】（1）利用根與系數(shù)的關系或根據(jù)拋物線的對稱軸x=-=（x1+x2），其中是x1、x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標，列出方程求出m即可解決問題。
（2）先根據(jù)函數(shù)解析式求出A，B，C三點坐標，設P（m，-m2+2m+3）．再證明PC=PB，利用兩點間距離公式，列出方程即可解決問題。
（3）應分兩種情況考慮：當BC′與BP重合，此時O′為所求點．過點O′作O′D⊥OB于D，根據(jù)點B、C的坐標證得∠CBO=∠C′BO′=45°，這兩個等角同時減去∠CBO′后可得到∠PBC=∠O′BD，即可證得△PBC∽△O′BD，根據(jù)PC、BC的比例關系，可求得O′D、BD的比例關系，進而可由勾股定理和O′B（即OB）的長求出O′D、BD的長，即可得到點O′的坐標；
當BO′與BP重合時，C′為所求的點．可過B作直線BE⊥x軸，過C′作C′E⊥BE于E，按照1）的思路，可證△EBC′∽△CBP，同樣能得到C′E、BE的比例關系，進而由勾股定理出這兩條線段的長，即可得到點C′的坐標。
【考點精析】掌握根與系數(shù)的關系和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．