Question

1．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．
（1）如圖1，當DE平分∠CDB時，求證：AD=AF．
（2）如圖1，當DE平分∠CDB，且OF=1時，求正方形ABCD的邊長．
（3）如圖2，當E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=$\frac{1}{2}$BG．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到∠ADO=∠DCO=45°，根據(jù)角平分線的定義推出∠ADF=∠DCO+∠CDF，根據(jù)外角的性質得到∠DFO=∠DCO+∠CDF等量代換得到∠DFO=∠ADF即可得到結論；
（2）由四邊形ABCD是正方形，于是得到∠DOF=∠DCE=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ODF=∠CDF，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{OF}{CE}=\frac{DO}{DC}$，解直角三角形得到CE=$\sqrt{2}$，即可得到結論．
（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADO=∠DCO=45°，
∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
∴∠ADO+∠ODF=∠DCO+∠CDF，即：∠ADF=∠DCO+∠CDF，
又∵∠DFO是△DFO的一個外角，
∴∠DFO=∠DCO+∠CDF
∴∠DFO=∠ADF
∴AD=AF；

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DOF=∠DCE=90°，
∵DE平分∠CDB，
∴∠ODF=∠CDF，
∴△DOF∽△DCE，
∴$\frac{OF}{CE}=\frac{DO}{DC}$，
又∵△DOC是等腰直角三角形，∴$\frac{DO}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{OF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OF=1，∴CE=$\sqrt{2}$，
由（1）AD=AF知：CF=CE=$\sqrt{2}$，∴OC=$\sqrt{2}+$1，
∴正方形ABCD的邊長CD=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}+$1）=2$+\sqrt{2}$，

（3）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB⊥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{CE}{AD}=\frac{CE}{BC}$，
∵E是BC的中點，
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$，
又∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$，
∴CG=$\frac{1}{2}$BG．

點評 本題考查了勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，理解正方形的性質是關鍵．