Question

11．圖中是拋物線拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處觀測P處，仰角分別為α、β，且tanα=$\frac{1}{2}$，tan$β=\frac{3}{2}$，以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）求點P的坐標(biāo)；
（2）水面上升1m，水面寬多少（$\sqrt{2}$取1.41，結(jié)果精確到0.1m）？

Answer 1

分析 （1）過點P作PH⊥OA于H，如圖，設(shè)PH=3x，運用三角函數(shù)可得OH=6x，AH=2x，根據(jù)條件OA=4可求出x，即可得到點P的坐標(biāo)；
（2）若水面上升1m后到達(dá)BC位置，如圖，運用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，然后求出y=1時x的值，就可解決問題．

解答 解：（1）過點P作PH⊥OA于H，如圖．
設(shè)PH=3x，
在Rt△OHP中，
∵tanα=$\frac{PH}{OH}$=$\frac{1}{2}$，
∴OH=6x．
在Rt△AHP中，
∵tanβ=$\frac{PH}{AH}$=$\frac{3}{2}$，
∴AH=2x，
∴OA=OH+AH=8x=4，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴OH=3，PH=$\frac{3}{2}$，
∴點P的坐標(biāo)為（3，$\frac{3}{2}$）；

（2）若水面上升1m后到達(dá)BC位置，如圖，
過點O（0，0），A（4，0）的拋物線的解析式可設(shè)為y=ax（x-4），
∵P（3，$\frac{3}{2}$）在拋物線y=ax（x-4）上，
∴3a（3-4）=$\frac{3}{2}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x（x-4）．
當(dāng)y=1時，-$\frac{1}{2}$x（x-4）=1，
解得x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$，
∴BC=（2+$\sqrt{2}$）-（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$=2×1.41=2.82≈2.8．
答：水面上升1m，水面寬約為2.8米．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)、運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、解一元二次方程等知識，出現(xiàn)角的度數(shù)（30°、45°或60°）或角的三角函數(shù)值，通常放到直角三角形中通過解直角三角形來解決問題．