Question

如圖1，等腰△ABC，AB=AC，∠A＜60°，D為△ABC外部一點(diǎn)，在AB的右側(cè)作∠ABD=60°，且∠ADB=∠ACB
（1）探究線段AB、CD和BD的數(shù)量關(guān)系；
（2）若將“∠A＜60°”改為“∠A＞60°”，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，給出正確的結(jié)論，并簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）AB=CD+BD，
證明：延長BD至H，使BH=AB，
∵∠ABD=60°，
∴△ABH為等邊三角形，
∴∠H=60°，AH=AB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，AC=AH，
∵∠ADB=∠ACB，∠ABC=∠ADB，
又∵∠AOB=∠CAD+∠ADB=∠CBD+∠ACB，
∴∠CBD=∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°+∠CBD，
又∵∠ADB=∠H+∠HAD=60°+∠HAD
∴∠CBD=∠HAD
∴∠CAD=∠HAD，
在△ACD和△AHD中

∴△ACD≌△AHD，
∴DC=DH，
∴AB=CD+BD．

（2）解：不成立，AB=BD-CD，
理由是：在BD上取一點(diǎn)H，使BH=AB，
同理可證∠CBD=∠CAD=60°-∠ABC，∠DAH=60°-∠ADB，
同理可證△ACD≌△AHD，
∴DC=DH，
即AB=BD-CD．
分析：（1）延長BD至H，使BH=AB，得出△ABH為等邊三角形，推出∠H=60°，AH=AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠CBD=∠CAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠CAD=∠HAD，證△ACD≌△AHD，推出DC=DH即可；
（2）不成立，AB=BD-CD，在BD上取一點(diǎn)H，使BH=AB，與（1）類似證出∠CBD=∠CAD=60°-∠ABC，∠DAH=60°-∠ADB，△ACD≌△AHD，推出DC=DH即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作輔助線（證三條線段之間的關(guān)系的解題思路），題目比較典型，有一點(diǎn)難度．