Question

9．⊙O為△ABC的外接圓，過圓外一點(diǎn)P作⊙O的切線PA，且PA∥BC．
（1）如圖1，求證：△ABC為等腰三角形：
（2）如圖2，在AB邊上取一點(diǎn)E，AC邊上取一點(diǎn)F，直線EF交PA于點(diǎn)M，交BC的延長線于點(diǎn)N，若ME=FN，求證：AE=CF；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OE、OF，∠EOF=120°，$\frac{AM}{BE}=\frac{1}{2}$，EF=$2\sqrt{21}$，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，易證明AB=AC，只要證明AD垂直平分BC即可．
（2）如圖2中，過點(diǎn)F作FK∥AB交BC于點(diǎn)K，只要證明△AME≌△KNF，△FKC是等腰三角形即可．
（3）如圖3中，過點(diǎn)E作EG⊥AM于G，過點(diǎn)F作FH⊥AM交MA的延長線于點(diǎn)H，作OD⊥AB于D，OK⊥AC于K，過點(diǎn)E作EQ⊥FH于點(diǎn)Q，連接OA、OC，則四邊形GEQH是矩形，首先證明△ABC是等邊三角形，設(shè)AG=a，AH=b，求出相應(yīng)的線段，在RT△EFQ中，根據(jù)tan∠FMH=tan∠FEQ=$\frac{HF}{MH}$=$\frac{\sqrt{3}b}{2b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a、b的關(guān)系，再利用勾股定理求出a、b，最后根據(jù)AE+AF=2AD，求出AD，在RT△AOD中即可解決OA．

解答 （1）證明：如圖1中，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴PA⊥OA，即∠PAD=90°．
∵PA∥BC，
∴∠PAD=∠ADC=90°，
∴OD⊥BC，
∴根據(jù)垂徑定理可得BD=CD，
∴AD垂直平分BD，
∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形；
（2）如圖2中，過點(diǎn)F作FK∥AB交BC于點(diǎn)K，
∵PA∥BC，F(xiàn)K∥AB，
∴∠AME=∠N，∠MAB=∠B．
∵∠B=∠FKC，
∴∠MAB=∠FKC．
在△AME和△KNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠N}\\{∠MAE=∠FKN}\\{ME=FN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△KNF，
∴AE=FK，
∵FK∥AB，
∴∠B=∠FKC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠FKC=∠ACB，
∴FK=CF．
∵AE=FK，
∴AE=FC．
（3）如圖3中，過點(diǎn)E作EG⊥AM于G，過點(diǎn)F作FH⊥AM交MA的延長線于點(diǎn)H，作OD⊥AB于D，OK⊥AC于K．
過點(diǎn)E作EQ⊥FH于點(diǎn)Q，連接OA、OC，則四邊形GEQH是矩形，
由（1）知AB=AC，OA⊥BC，
∴∠OAB=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠OAB，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴∠AOE=∠COF，
∴∠AOC=∠EOF=120°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，∠OCA=∠OAC=30°．
∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°．
∵PA∥BC，
∴∠MAE=∠B=60°．
∵EG⊥AM，∠MAE=60°，
∴∠AEG=30°，
同理∠AFH=30°，
設(shè)AG=a，AH=b，
∴EG=$\sqrt{3}$a，F(xiàn)H=$\sqrt{3}$b，AF=2AH=2b，
∵AB=AC，AE=CF，
∴BE=AF=2AM，
∴AM=AH=b，tan∠FMH=tan∠FEQ=$\frac{\sqrt{3}b}{2b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在RT△EFQ中，
∵EQ=GH=a+b，QF=FH-HQ=FH-EG=$\sqrt{3}$（b-a），
∴$\frac{QF}{EQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}（b-a）}{a+b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=3a，
∴（a+3a）²+[$\sqrt{3}$（3a-a）]²=（2$\sqrt{21}$）²，
∴a=$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，AF=6$\sqrt{3}$，
在△AOD和△AOK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OAK}\\{∠ADO=∠AKO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$
△AOD≌△AOK，
∴OD=OK，AD=AK，
在RT△ODE和RT△OKF，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OK}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴RT△EOD≌RT△FOK，
∴DE=FK，
∴AE+AF=AD-DE+AK+KF=2AD=8$\sqrt{3}$，
∴AD=4$\sqrt{3}$，
在RT△AOD中，∵AD=4$\sqrt{3}$，∠OAD=30°，
∴OD=4，AO=8，
∴⊙O的半徑為8．

點(diǎn)評 本題主要考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理等知識，綜合性比較強(qiáng)，難度比較大，由條件AE=CF聯(lián)想到構(gòu)造全等三角形是解決第（2）、（3）小題的關(guān)鍵，第（3）問題通過添加輔助線構(gòu)造了直角梯形EFHG，利用邊角之間的關(guān)系解決問題，屬于中考壓軸題．