Question

（2009•莆田）已知：等邊△ABC的邊長為a．
探究（1）：如圖1，過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG，求證：△MNG是等邊三角形且MN=a；
探究（2）：在等邊△ABC內取一點O，過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分別為點D、E、F．
①如圖2，若點O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質得到兩個正確結論（不必證明）：結論1． OD+OE+OF=a；結論2． AD+BE+CF=a；
②如圖3，若點O是等邊△ABC內任意一點，則上述結論1，2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題中△ABC為等邊三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，這樣就能證得MN=a；
（2）判定①是否成立可通過構建直角三角形，把所求的線段都轉化到直角三角形中進行求解；
判斷②是否成立，也要通過構建直角三角形，可根據勾股定理，把所求的線段都表示出來，然后經過化簡得出結論②是否正確．
解答：（1）證明：如圖1，∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．
∴∠M=90°-∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG為等邊三角形．
在Rt△ABM中，BM=a，
在Rt△BCN中，BN=a，
∴MN=BM+BN=a．

（2）②：結論1成立．
證明：如圖3，過點O作GH∥BC，分別交AB、AC于點G、H，過點H作HM⊥BC于點M，
∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，
∴△AGH是等邊三角形，
∴GH=AH．
∵OE⊥BC，
∴OE∥HM，
∴四邊形OEMH是矩形，
∴HM=OE．
在Rt△ODG中，OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG，
在Rt△OFH中，OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH，
在Rt△HMC中，HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC，
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH
=（GH+HC）=AC=a．

（2）②：結論2成立．
證明：如圖4，連接OA、OB、OC，根據勾股定理得：
BE²+OE²=OB²=BD²+OD²①，
CF²+OF²=OC²=CE²+OE²②，
AD²+OD²=AO²=AF²+OF²③，
①+②+③得：BE²+CF²+AD²=BD²+CE²+AF²，
∴BE²+CF²+AD²=（a-AD）²+（a-BE）²+（a-CF）²=a²-2AD•a+AD²+a²-2BE•a+BE²+a²-2CF•a+CF²
整理得：2a（AD+BE+CF）=3a²
∴AD+BE+CF=a．
點評：本題中綜合考查了等邊三角形的判定和性質，解直角三角形等知識點，由于知識點比較多，本題的難度比較大．