Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點p的坐標為（m，0）且m＞0，一開口向上的拋物線以P為頂點，且經(jīng)過點A．
（1）求該拋物線的解析式；（m作為常數(shù)）
（2）在第一象限內(nèi)，過點A作AB⊥AP，且∠APB=∠APO，過點B作BC⊥x軸于點C，交拋物線于點D，問BC的長是否隨m的變化而變化？若變化，請用含m的代數(shù)式表示線段BC的長度；若不變，請求出線段BC的長度；
（3）在（2）的條件下，當m為何值時，拋物線正好經(jīng)過線段BC的中點D？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中的頂點坐標，設(shè)該拋物線的解析式為頂點式解析式y(tǒng)=a（x-m）²，然后由待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）作AE∥x軸交PB于E，交BC于F，如圖，證明EA=EB，EA=EP，從而得到EB=EP，則BF=CF，于是得到BC=2BF=4；
（3）點D點為BC的中點，即D點與F點重合，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征表示出D（2m，0），則B（2m，4），再證明Rt△AOP∽Rt△BAP，利用相似比得到PB=m+$\frac{4}{m}$，然后利用兩點間的距離公式得到（m+$\frac{4}{m}$）²=（2m-m）²+4²，然后解方程求出m即可．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點坐標為P（m，0），
∴設(shè)該拋物線的方程為：y=a（x-m）²；
又∵圖象經(jīng)過點A（0，2），
∴2=a（-m）²，解得a=$\frac{2}{{m}^{2}}$；
∴該函數(shù)的解析式為：y=$\frac{2}{{m}^{2}}$（x-m）²；
（2）BC的長不變．
作AE∥x軸交PB于E，交BC于F，如圖，
∵AB⊥AP，
∴∠BAP=90°，
∵AE∥OP，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴EA=EP，
∵∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠5，
∴EA=EB，
∴EB=EP，
∵EF∥PC，
∴$\frac{BE}{EP}$=$\frac{BF}{FC}$=1，即BF=CF，
易得四邊形AOCF為矩形，
∴CF=OA=2，
∴BC=2BF=4；
（3）點D點為BC的中點，即D點與F點重合，
∴D點的縱坐標為2，
當y=2時，$\frac{2}{{m}^{2}}$（x-m）²=2，解得x=0（舍去）或x=2m，則D（2m，0），
∴B（2m，4），
∵∠1=∠2，
∴Rt△AOP∽Rt△BAP，
∴AP：PB=OP：AP，
∴PB=$\frac{{m}^{2}+4}{m}$=m+$\frac{4}{m}$，
∴（m+$\frac{4}{m}$）²=（2m-m）²+4²，
∴m²=2，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和等腰三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式；會利用相似比計算線段的長．