Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，且∠EDF=45°，求證：AE+EF=FC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：連接AD，在CA上找到點G使得CG=AE，易證△ADE≌△CDG，可得∠ADE=∠CDG，DE=DG，AE=CG，即可求得∠FDG=45°，即可證明△EDF≌△GDF，可得EF=FG，即可解題．

解答：證明：連接AD，在CA上找到點G使得CG=AE，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
在△ADE和△CDG中，

AE=CG ∠BAD=∠C AD=CD

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠ADE=∠CDG，DE=DG，AE=CG，
∵∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，
∴∠FDG=45°，
在△EDF和△GDF中，

DE=DG ∠EDF=∠GDF DF=DF

，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，
∵FC=FG+CG，
∴FC=EF+AE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△CDG和△EDF≌△GDF是解題的關(guān)鍵．