Question

如圖，等腰△ABC，AB=BC=4，AC=6，點E、D分別是AB與AC邊上的兩個動點，滿足∠EDB=∠A．

（1）在圖①中，說明：△ADE∽△CBD；
（2）在圖②中，若AE=2.25，說明：AC與過點B、E、D三點的圓相切；
（3）在圖③中，設AE=m，m在何范圍內(nèi)，AC邊上存在兩個點D，滿足∠EDB=∠A？

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先證出∠A=∠C，再利用三角形的外角證出∠ADE=∠CBD，從而證出△ADE∽△CBD；
（2）根據(jù)

AD

BC

=

AE

DC

，得出

AD

4

=

2.25

6-AD

，求出AD=DC，得出BD⊥AC，證出BD為圓的直徑，再根據(jù)切線的判定即可證出結論；
（3）設AD=x，得出

x

4

=

m

6-x

，再整理得出x²-6x+4m=0，最后根據(jù)AC邊上存在兩個點D時，6²-16m＞0，再計算即可．

解答：解：（1）∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵∠EDB=∠A，
∴∠EDB=∠C，
∵∠ADB=∠ADE+∠EDB，∠ADB=∠CBD+∠C，
∴∠ADE=∠CBD，
∴△ADE∽△CBD；

（2）∵△ADE∽△CBD，
∴

AD

BC

=

AE

DC

，
∵DC=6-AD，
∴

AD

4

=

2.25

6-AD

，
∴AD=3，
∴DC=3，
∵AB=BC，
∴BD⊥AC
∴∠AED=∠CDB=90°，
∴BD為圓的直徑，
∴AC與過點B、E、D三點圓相切；

（3）∵△ADE∽△CBD，
∴

AD

BC

=

AE

DC

，
設AD=x，則

x

4

=

m

6-x

，
∴6x-x²=4m，
∴x²-6x+4m=0，
∵AC邊上存在兩個點D，
∴6²-16m＞0，
∴m＜

9

4

，
∴0＜m＜

9

4

時，AC邊上存在兩個點D，滿足∠EDB=∠A．

點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的有關性質(zhì)、切線的判定、根的判別式，關鍵是證出兩三角形相似．