Question

17．某文具店出售一種文具，進價為10元/件，標記為12元/件，如購買10件以上，可以享受批發(fā)價，每多買1件，所買的每件文具均優(yōu)惠0.1元，但每件文具的售價不得低于進價，若小莉一次性購買文具x件時，該文具店從中獲利y元．
（1）當0＜x≤10時，求y與x的函數(shù)關系式；
（2）當x＞10時，每件文具的售價是多少元？（用含x的式子表示），并求出此時y與x的函數(shù)關系式；
（3）小莉一次性購買文具多少件時，該文具店從中獲利最多？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)獲利=（每件售價-每件進價）×銷售數(shù)量，即可得出結(jié)論；
（2）先算出售價等于進價時的購買數(shù)量，再以此為界，分兩部分討論，根據(jù)銷售單價=12-（數(shù)量-10）×0.1，再結(jié)合獲利=（每件售價-每件進價）×銷售數(shù)量，即可得出結(jié)論；
（3）由于獲利y關于購進文具數(shù)x的函數(shù)關系式為分段函數(shù)，故分段考慮最值，最后再作比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知：
當0＜x≤10時，y=（12-10）x=2x．
（2）∵（12-10）÷0.1=20，20+10=30，
∴當10＜x≤30時，每件文具售價為12-（x-10）×0.1=13-0.1x，
y=（13-0.1x-10）x=-0.1x²+3x；
當30＜x時，每件文具售價為10元，
y=（10-10）x=0．
（3）當0＜x≤10時，y=（12-10）x=2x，單調(diào)遞增，
即當x=10時，y取最大值20元；
當10＜x≤30時，y=-0.1x²+3x=-0.1（x-15）²+22.5，
即當x=15時，y去最大值22.5元．
∵22.5＞20，
∴小莉一次性購買文具15件時，該文具店從中獲利最多，最多獲利為22.5元．

點評 本題考查了一次函數(shù)中的分段函數(shù)以及一次函數(shù)和二次函數(shù)求最值問題，解題的關鍵：（1）獲利=（每件售價-每件進價）×銷售數(shù)量；（2）算出售價等于進價時的購買數(shù)量，分段考慮；（3）分別求取最值再進行比較．本題屬于基礎題，（1）（2）難度不大，（3）稍微有點難度，解決該類題型，要想到利用函數(shù)的單調(diào)性求取最值．