Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線 y=﹣ x2+ x+4經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．

（1）求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若在線段AB上方的拋物線有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸交AB于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜8），求△ABP的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△ABP的最大面積；
（3）在（2）的條件下，是否存在一點(diǎn)P，使S△APB= S△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=0時(shí)，y=4，

∴B（0，4），

當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x2+ x+4=0，

解得：x=8或﹣1，

∴A（8，0）

（2）

解：設(shè)AB的解析式為：y=kx+b，

把A（8，0），B（0，4）代入得： ，

解得： ，

∴AB的解析式為：y=﹣ x+4，

∴Q（t，﹣ t+4），P（t，﹣ t2+ t+4），

∴PQ=（﹣ t2+ t+4）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∴S= PQOA= （﹣ t2+4t）×8=﹣2t2+16t=﹣2（t﹣4）2+32，

∵0＜t＜8，

∴當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值為32，

即△ABP的最大面積為32

（3）

解：存在，

∵OA是BC的垂直平分線，

∴OB=OC=4，

∵OA=8，

∴S△ABC= BCOA= ×8×8=32，

∵S△APB= S△ABC，

∴﹣2t2+16t= ，

t2﹣8t=﹣12，

t2﹣8t+12=0，

（t﹣2）（t﹣6）=0，

解得：t=2或6，

當(dāng)t=2時(shí)，y=﹣ ×22+ ×2+4=9，

當(dāng)t=6時(shí)，y=﹣ ×62+ ×6+4=7，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，9）或（6，7）

【解析】（1）分別將x=0和y=0代入可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)；（2）先求直線AB的解析式，表示點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)及PQ的長(zhǎng)，根據(jù)△ABP的面積=鉛直高度PQ×水平寬度OA，代入計(jì)算可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，配方可求其最大面積；（3）根據(jù)（2）中求得的解析式代入S△APB= S△ABC ， 求出x的值，代入拋物線中求得對(duì)應(yīng)的y值，則得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．