如圖,△ABC中,AB=5,BC=11,cosB=
3
5
,點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)AP,取AP的中點(diǎn)M,將線段MP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PN,聯(lián)結(jié)AN,NC.
(1)當(dāng)點(diǎn)N恰好落在BC邊上時(shí),求NC的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)N在△ABC內(nèi)部(不含邊界),設(shè)BP=x,CN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域;
(3)若△PNC是等腰三角形,求BP的長(zhǎng).
考點(diǎn):相似形綜合題
專題:
分析:(1)根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理可以求得答案.
(2)過A、N作BC的垂線,垂足分別為H、G,證得△APH∽△PGN,得到對(duì)應(yīng)邊的比例式,構(gòu)造方程求解即可.
(3)分三種情況討論:第一種情況:當(dāng)PN=NC時(shí),PG=CG,即:9-x=2,解得:x=7,;第二種情況:PN=PC時(shí),PN=
1
2
AP=
1
2
(X-3)2+16
,PC=11-X
,(x-3)2+16=4(11-x)2,整理得:3x2-82x+459=0,解得:x1=
41+4
19
3
(舍去),x2=
41-4
19
3
;第三種情況:當(dāng)NC=PC時(shí):NC=
(
x-3
2
)2+(9-x)2
=
5x2-78x+333
2
,PC=11-x,所以=
5x2-78x+333
2
=11-x,即:x2+10x-151=0,解方程得,x1=-5-4
11
(舍去)x2=-5+4
11
解答:解:(1)∵∠APN=90°,
∴AP⊥BN,
∴cosB=
BP
AB
=
3
5
,
∵AB=5,
∴BP=3,AP=
AB2-BP2
=4,
∵PN=MP=
1
2
AP,
∴PN=2,
∴NC=11-3-2=6;

(2)過A、N作BC的垂線,垂足分別為H、G,
∵AB=5,cosB=
3
5
,
∴BH=3,
∵BP=x,
∴HP=x-3,AH=4,
∴△APH∽△PGN,
AP
PN
=
AH
PG
=
PH
NG
=2,
∴PG=2,NG=
x-3
2
,CG=11-x-2=9-x,
在Rt△NCG中,y=
(
x-3
2
)2+(9-x)2
=
5x2-78x+333
2
,取值范圍為:3<x<6.

(3)第一種情況:當(dāng)PN=NC時(shí),PG=CG,即:9-x=2,解得:x=7,;

第二種情況:PN=PC時(shí),PN=
1
2
AP=
1
2
(x-3)2+16
,PC=11-x
,
(x-3)2+16=4(11-x)2,
整理得:3x2-82x+459=0,
解得:x1=
41+4
19
3
(舍去),x2=
41-4
19
3


第三種情況:
當(dāng)NC=PC時(shí):NC=
(
x-3
2
)2+(9-x)2
=
5x2-78x+333
2
,PC=11-x,
所以=
5x2-78x+333
2
=11-x,
即:x2+10x-151=0,
解方程得,x1=-5-4
11
(舍去)x2=-5+4
11


綜上所述:BP=7或
41-4
19
3
或--5+4
11
時(shí),△PNC為等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了線段長(zhǎng)度的求法,以及在幾何問題中用方程思想求線段長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)化方法,同時(shí)注意分類討論的思想的應(yīng)用.
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3
+
2
,y=
3
-
2
,求x2-y2的值.

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(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),寫出∠α,∠β,∠γ之間的關(guān)系并說出理由;
(2)如果點(diǎn)P在線段CD(或DC)的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng),探究∠α,∠β,∠γ之間的關(guān)系,并選擇其中的一種情況說明理由.

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計(jì)算:
(1)
38
+
(-2)2
-
1
4
;
(2)
7
1
7
-
7
).

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