Question

王琳猜想：若一元二次方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根都是整數(shù)，則代數(shù)式b²-4c的值一定是完全平方數(shù)．
（1）王琳猜想是

 

（真或假）命題；
（2）寫(xiě)出王琳猜想的逆命題

 

；
（3）王琳猜想的逆命題是真命題還是假命題？若是真命題，請(qǐng)進(jìn)行證明；若是假命題，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,命題與定理

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的求根公式得到一元二次方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根都是整數(shù)，則代數(shù)式b²-4c的值一定是完全平方數(shù)；
（2）交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得到逆命題；
（3）利用反例說(shuō)明逆命題為假命題．

解答：解：（1）∵x=

-b± b2-4c

2

，
∴一元二次方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根都是整數(shù)，則代數(shù)式b²-4c的值一定是完全平方數(shù)；
（2）若一元二次方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根都是整數(shù)，則代數(shù)式b²-4c的值一定是完全平方數(shù)的逆命題為：代數(shù)式b²-4c的值是完全平方數(shù)，則一元二次方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根都是整數(shù)；
故答案為真；代數(shù)式b²-4c的值是完全平方數(shù)，則一元二次方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根都是整數(shù)；
（3）王琳猜想的逆命題是假命題．例如：當(dāng)b=2

2

，c=2，則b²-4c=8-8=0，b²-4c的值是完全平方數(shù)，但方程的兩根為-

2

，不是整數(shù)，所以代數(shù)式b²-4c的值是完全平方數(shù)，則一元二次方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根都是整數(shù)是假命題．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了命題與定理．