Question

如圖：OA=12，OB=6，點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA邊向A勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，開始沿BO邊向點(diǎn)O勻速移動(dòng)，它們的速度都是每秒1個(gè)單位，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6），那么
（1）設(shè)△POQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時(shí)，以P、Q、O三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P、Q的速度，用時(shí)間t表示出OQ和OP的長(zhǎng)，即可通過三角形的面積公式得出y，t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA兩種情況進(jìn)行求解，可根據(jù)各自得出的對(duì)應(yīng)成比例相等求出t的值．

解答：解：（1）∵OA=12，OB=6，由題意，得：
BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
則OQ=6-t．
故y=

1

2

×OP×OQ=

1

2

×t（6-t）=-

1

2

t²+3t（0≤t≤6）；

（2）①若△POQ∽△AOB時(shí)，

OQ

OB

=

OP

OA

，即

6-t

6

=

t

12

，
即12-2t=t，
解得：t=4．
②若△POQ∽△BOA時(shí)，

OQ

OA

=

OP

OB

，即

6-t

12

=

t

6

，
即6-t=2t，
解得：t=2．
∵0＜t＜6，
∴t=4和t=2均符合題意，
故當(dāng)t=4或t=2時(shí)，△POQ與△AOB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．要注意（2）題要根據(jù)不同的相似三角形分類進(jìn)行討論．