Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．

（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數為　45°或135°　；

（2）連接AC，BC，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．

（3）連接AD，當OC∥AD時，

①求出點C的坐標；②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．

Answer 1

考點：

圓的綜合題．

專題：

綜合題．

分析：

（1）根據點A和點B坐標易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側時，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；

（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA=6，根據三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，

此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質計算出OE，然后計算△ABC的面積；

（3）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則=，即=，解得CF=，再利用勾股定理計算出OF=，則可得到C點坐標；

②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，則可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根據切線的判定定理可確定

直線BC為⊙O的切線．

解答：

解：（1）∵點A（6，0），點B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴當C點在y軸左側時，∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側時，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，

過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，如圖，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，

∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴OE=AB=3，

∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面積=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．

∴當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為9+18．

（3）①如圖，過C點作CF⊥x軸于F，

∵OC∥AD，

∴∠ADO=∠COD=90°，

∴∠DOA+∠DAO=90°

而∠DOA+∠COF=90°，

∴∠COF=∠DAO，

∴Rt△OCF∽Rt△AOD，

∴=，即=，解得CF=，

在Rt△OCF中，OF==，

∴C點坐標為（﹣，）；

②直線BC是⊙O的切線．理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，OF=，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

∵在△BOC和△AOD中

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADC=90°，

∴OC⊥BC，

∴直線BC為⊙O的切線．

點評：

本題考查了圓的綜合題：掌握切線的判定定理、平行線的性質和等腰直角三角形的判定與性質；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．