Question

如圖所示，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圓分別為⊙O₂和⊙O₁，求證：⊙O與⊙O₁的半徑相等．

Answer 1

分析：首先作輔助線：過A作⊙O和⊙O₁的直徑AP、AQ，連接PB、QB，即可證得：P、B、Q三點(diǎn)共線，又由H是△ABC的垂心，證得D、C、E、H四點(diǎn)共圓，則可證得∠P=∠Q，易得⊙O與⊙O₁的半徑相等．

解答：證明：過A作⊙O和⊙O₁的直徑AP、AQ，連接PB、QB，則∠ABP=∠ABQ=90°．
故P、B、Q三點(diǎn)共線．
因H是△ABC的垂心，
故D、C、E、H四點(diǎn)共圓，∠AHE=∠C．
而∠AHE=∠Q，∠C=∠P，
故∠P=∠Q，AP=AQ．
因此⊙O與⊙O₁的半徑相等．

點(diǎn)評：此題考查了三角形的垂心的性質(zhì)．解題時要注意三點(diǎn)共線與四點(diǎn)共圓等知識的應(yīng)用．