Question

（2013•山西模擬）如圖，DB為半圓的直徑，A為BD延長線上一點，AC切半圓于點E，BC⊥AC于點C，交半圓于點F．已知BD=4，AD=1，則CF=

2

3

．

Answer 1

分析：首先利用三角形相似的判定方法證明△AEO∽△OMB，進而求出CE與BC的長，再利用切割線定理求出CF即可．

解答：解：連接OE，做OM⊥BC，
∵BC⊥AC，OM⊥BC，
OM∥AC，
∴∠A=∠MOB，
∴∠AEO=∠OMB，
∴△AEO∽△OMB，
∴

AE

OM

=

AO

BO

，
∵OD=

1

2

BD=2，
∴A0=AD+OD=3，
∴AE=

OA2-OE2

=

5

，
解得：OM=

2 5

3

，
∴CM=OE=2，OM=CE=

2 5

3

，
∴BM=

4

3

，
∴BC=BM+CM=2+

4

3

=

10

3

，
∵CE²=CF×BC，
解得：CF=

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點評：此題主要考查了切線的性質定理、垂徑定理以及相似三角形的性質定理與判定定理，求出BC與CE的長是解決問題的關鍵．