Question

（2013•蘇州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，⊙D與坐標(biāo)軸分別相交于A（-

3

，0）、C（0，3）及B、F四點(diǎn)．
（1）求⊙D的半徑．
（2）E為優(yōu)弧AB上一動點(diǎn)（不與A，B，C三點(diǎn)重合），M為半徑DE的中點(diǎn)，連接M0，若∠MOD=α°，弧CE的長為y，求y與α之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N連接MN，當(dāng)∠ENM=15°時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷以DE為直徑的⊙M與直線DN的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）連接AD，設(shè)AD=r，則OD=OC-CD=OC-AD=3-r，在直角三角形ADO中利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值即可；
（2）連接DE，EF，OM，由（1）可知圓的半徑為2，所以DF=2，因?yàn)镺D=OC-CD=3-2=1，所以O(shè)D=OF，因?yàn)镸為半徑DE的中點(diǎn)，所以O(shè)M是△DEF的中位線，OM∥EF，由平行線的性質(zhì)和圓周角定理以及弧長公式即可求出弧CE的長即y與α之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過D作DH⊥EN于H點(diǎn)，則HN=OD=1，延長NM交y軸于點(diǎn)P，連接OM，在Rt△DHE中，DE=2，DH=1，EH=

3

，ON=DH=1，EN=1+

3

，所以E（1，1+

3

），根據(jù)軸對稱性可知，點(diǎn)E在第二象限的對稱點(diǎn)（-1，

3

+1），故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，

3

+1）或（-1，

3

+1）．

解答：解：（1）連接AD（如圖1），設(shè)AD=r，
∵A（-

3

，0）、C（0，3）
∴AO=

3

，OC=3，
∴OD=OC-CD=OC-AD=3-r，
在Rt△AOD中，AD²=OD²+AO²，
∴r²=（3-r）²+

3

²，
解得：r=2，
∴⊙D的半徑是2；

（2）連接DE，EF，OM（如圖2），
由（1）可知圓的半徑為2，∴DF=2，
∵OD=OC-CD=3-2=1，
∴OD=OF，
∵M(jìn)為半徑DE的中點(diǎn)，
∴OM是△DEF的中位線，
∴OM∥EF，
∴∠MOD=∠DFE=

1

2

∠EDC，
∵∠MOD=α°，
∴弧CE的長為y=

nπr

180

=

2απ×2

180

=

πα

45

；

（3）過D作DH⊥EN于H點(diǎn)，則HN=OD=1，延長NM交y軸于點(diǎn)P，連接OM（如圖3），
易證△ENM≌△DPM，
∵M(jìn)P=NM，∠PON=90°，OM=MP，
∴∠MOP=∠MPO，
∴∠OMN=2∠OPM，
∵OD=DM，
∴∠DOM=∠DMO，
∴∠DMN=∠POM+2∠OPM=3∠OPM，
∴∠DMN=3∠MNE，∠DMN=45°，
∵∠MNE=15°，
∴∠E=30°
在Rt△DHE中，DE=2，DH=1，EH=

3

，ON=DH=1，EN=1+

3

，
∴E（1，1+

3

），
根據(jù)軸對稱性可知，點(diǎn)E在第二象限的對稱點(diǎn)（-1，

3

+1），
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，

3

+1）或（-1，

3

+1）．
以DE為直徑的⊙M與直線DN的位置關(guān)系是：相交．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、圓周角定理以及圓的軸對稱的性質(zhì)和弧長公式的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，對學(xué)生的解題能力要求很高．