Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）.

（1）求此拋物線所對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若M 是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng) MA+MC 的值最小時(shí) M 點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）M(1，2) ；（3）存在P點(diǎn)坐標(biāo)為或（2，3），理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)設(shè)拋物線餓表達(dá)式是y＝a（x＋1）（x3），把C的坐標(biāo)代入求出a，即可得出答案；

（2）根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，連接BC，直線BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M．

（3）求出D的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的表達(dá)式，分為兩種情況：①若以CD為底邊，則PC＝PD．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)勾股定理求出b＝4a，代入拋物線求出a、b，②若以CD為一腰，根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)性得出點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，即可求出P的坐標(biāo)．

（1）設(shè)表達(dá)式為 ，

拋物線與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0）和（3，0），又點(diǎn)（0，3）在拋物線上，

則 ，

故所求的表達(dá)式為：

即

（2）由=知，

D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱(chēng)軸為x=1

由題意得：點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，

連接CB交對(duì)稱(chēng)軸為x=1于點(diǎn)M

設(shè)直線CB解析式為y=kx+b,∵C（0，3）B（3，0）

∴直線CB解析式為y=-x+3

又∵對(duì)稱(chēng)軸為x=1

∴

∴

∴M(1，2)即為所求.

（3）存在，

由=知，

D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱(chēng)軸為x=1

①以CD為底邊，則PC=PD

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為

由勾股定理，得：

即．

又點(diǎn)P在拋物線上，∴，

∴

整理得:

解之得 ， （不合題意，舍去）

∴ ，

∴，

P

②若以CD為一腰，因點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上，

由拋物線對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或（2，3）