Question

已知：如圖，直線y=mx+n與拋物線交于點A（1，0）和點B，與拋物線的對稱軸x=﹣2交于點C（﹣2，4），直線f過拋物線與x軸的另一個交點D且與x軸垂直．

（1）求直線y=mx+n和拋物線的解析式；

（2）在直線f上是否存在點P，使⊙P與直線y=mx+n和直線x=﹣2都相切．若存在，求出圓心P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）在線段AB上有一個動點M（不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線交拋物線于點N，當(dāng)MN的長為多少時，△ABN的面積最大，請求出這個最大面積．

Answer 1

解：（1）將A（1，0）、C（﹣2，4）代入直線y=mx+n得：

，

解得：，

故直線解析式為：．

將A（1，0）代入拋物線及對稱軸為直線x=﹣2得：

，

解得：，

故拋物線解析式為：．

（2）存在．

如圖1，圖形簡化為圖2

直線f解析式：x=﹣5，故圓半徑R=3，且F（﹣5，8）．

易得△PEF∽△ADF，△P₁E₁F≌△PEF，其中PE=P₁E₁=R=3，AD=6，F(xiàn)D=8，P₁F=PF．

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=10，由得：PF=5．

∴PD=13，P₁D=3．

∴P（﹣5，13）、P₁（﹣5，3）．

綜上可得存在點P的坐標(biāo)為（﹣5，13）或（﹣5，3）．

（3）如圖3：

聯(lián)立直線與拋物線解析式得：，

解得交點B的坐標(biāo)：（﹣9，）．

設(shè)點M（q，﹣q+），N（q，q²+q﹣），

所以：MN=（﹣q+）﹣（q²+q﹣）=﹣q²﹣q+3=﹣（q+4）²+．

S_△ABN=S_△AMN+S_△BMN=MN•AF+MN•BE=MN（AF+BE）=5MN=﹣（q+4）²+．

當(dāng)q=﹣4時，S_△ABN有最大值；此時：MN=．