Question

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則下列判斷：
①當(dāng)AP=BP時(shí)，AB′∥CP；          
②當(dāng)AP=BP時(shí)，∠B′PC=2∠B′AC
③當(dāng)CP⊥AB時(shí)，AP=$\frac{17}{5}$；          
④B′A長(zhǎng)度的最小值是1．
其中正確的判斷是①②④ （填入正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及折疊的性質(zhì)，易得∠AB′P=∠CPB′，即可得AB′∥CP；
②由PA=PB′=PC=PB，可得點(diǎn)A，B′，C，B在以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓上，然后由圓周角定理，求得答案；
③當(dāng)CP⊥AB時(shí)，易證得△ACP∽△ABC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得AP的長(zhǎng)；
④易得當(dāng)AB′+CB′有最小值時(shí)，AB′的長(zhǎng)度有最小值，繼而求得答案．

解答 解：①∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，
∴AP=BP=CP，∠BPC=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB′），
由折疊的性質(zhì)可得：CP=B′P，∠CPB′=∠BPC=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB′），
∴AP=B′P，
∴∠AB′P=∠B′AP=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB′），
∴∠AB′P=∠CPB′，
∴AB′∥CP；故①正確；
②∵AP=BP，
∴PA=PB′=PC=PB，
∴點(diǎn)A，B′，C，B在以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓上，
∵由折疊的性質(zhì)可得：BC=B′C，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{B′C}$，
∴∠B′PC=2∠B′AC；故②正確；
③當(dāng)CP⊥AB時(shí)，∠APC=∠ACB，
∵∠PAC=∠CAB，
∴△ACP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AP=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{16}{5}$；故③錯(cuò)誤；
④由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：BC=CB′=3，
∵CB′長(zhǎng)度固定不變，
∴當(dāng)AB′+CB′有最小值時(shí)，AB′的長(zhǎng)度有最小值．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：A、B′、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AB′有最小值，
∴AB′=AC-B′C=4-3=1．故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵．