如圖1,四邊形ABCD是正方形,G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合),以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG,DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系:
(1)①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系;
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,得到如圖2、如圖3情形.請你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷.
(2)將原題中正方形改為矩形(如圖6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立,哪些不成立?若成立,以圖5為例簡要說明理由.
分析:(1)①延長BG交DE于O,根據(jù)正方形性質(zhì)推出BC=CD=AB,CG=CE,∠BCD=∠ECD=90°,證△BCG≌△DCE,推出BG=DE,∠CBG=∠CDE,求出∠CDE+∠DGO=90°,求出∠DOG=90°即可;②求出∠BCG=∠DCE,證△BCG≌△DCE,推出BG=DE,∠CBG=∠CDE,求出∠CDE+∠DGO=90°,求出∠DOG=90°即可;
(2)求出
BC
CD
=
CG
CE
=
b
a
,加上∠BCG=∠DCE,證△BCG∽△DCE,得出
BG
DE
=
BC
CD
=
b
a
,∠CBG=∠CDE,即可判定BG=DE不成立;推出∠EDC+∠DHO=90°,求出∠DOH=90°即可.
解答:(1)①BG=DE,BG⊥DE,
理由是:

延長BG交DE于O,
∵四邊形ABCD、CGFE是正方形,
∴BC=CD=AB,CG=CE,∠BCD=∠ECD=90°,
∵在△BCG和△DCE中
BC=CD
∠BCG=∠DCE
CG=CE
,
∴△BCG≌△DCE,
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
∵∠CBG+∠BGC=90°,
又∵∠DGO=∠BGC,
∴∠EDC+∠DGO=90°,
∴∠DOG=180°-90°=90°,
∴BG⊥DE,
即BG=DE,BG⊥DE;

②仍成立,
證明:∵四邊形ABCD、CGFE是正方形,
∴BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG,
即∠BCG=∠DCE,
∵在△BCG和△DCE中
BC=CD
∠BCG=∠DCE
CG=CE
,
∴△BCG≌△DCE,
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
∵∠CBG+∠BGC=90°,
又∵∠DGO=∠BGC,
∴∠EDC+∠DGO=90°,
∴∠DOG=180°-90°=90°,
∴BG⊥DE,
即BG=DE,BG⊥DE;

(2)解:BG=DE不成立,BG⊥DE成立,
理由是:∵四邊形ABCD和四邊形GCEF都是矩形,
∴AB=CD=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,
BC
CD
=
CG
CE
=
b
a
,
∵∠BCG=∠DCE(已證),
∴△BCG∽△DCE,
BG
DE
=
BC
CD
=
b
a
,∠CBG=∠CDE,
∵∠CBG+∠BHC=90°,
又∵∠DHO=∠BHC,
∴∠EDC+∠DHO=90°,
∴∠DOH=180°-90°=90°,
∴BG⊥DE,
則BG=DE不成立,BG⊥DE成立.
點評:本題考查的知識點是正方形性質(zhì),矩形的性質(zhì),全等三角形性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定,三角形的內(nèi)角和定理,主要考查學生運用定理進行推理的能力,題目比較典型,綜合性比較強.
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(2)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍;
(3)設(shè)四邊形DECF的面積為S,x在什么范圍時s隨x增大而增大.x在什么范圍時s隨x增大而減小,并畫出s與x圖象;
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