Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，點P、Q分別為AB、CD的中點，E、G分別為BC、PQ上的點，將這張紙片沿AE折疊，使點B與點G重合，則△AGE的外接圓的面積為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,矩形的性質,三角形的外接圓與外心

專題：

分析：根據翻折變換的性質可得AG=AB，再根據線段中點的定義可得AP=

1

2

AB，然后求出∠AGP=30°，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠PAG=60°，再利用翻折的性質求出∠BAE，解直角三角形求出AE的長度，然后根據圓的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：由翻折的性質得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，
∵點P、Q分別為AB、CD的中點，
∴AP=

1

2

AB，
∴AP=

1

2

AG，
∴∠AGP=30°，
∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，
∴∠BAE=

1

2

∠PAG=

1

2

×60°=30°，
在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷

3

2

=

20 3

3

cm，
∴△AGE的外接圓的面積=π（

AE

2

）²=π（

1

2

×

20 3

3

）²=

100

3

πcm²．
故答案為：

100

3

πcm²．

點評：本題考查了翻折變換的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，直角三角形兩銳角互余的性質以及解直角三角形，熟記各性質是解題的關鍵，求出∠AGP=30°是解題的突破口為．