Question

已知兩個(gè)二次函數(shù)y=x²+bx+a和y=x²+ax+b（a≥0＞b）圖象分別與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰的兩點(diǎn)間的距離都相等，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)與a、b的關(guān)系式，判斷出每個(gè)函數(shù)兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，再分別列出兩函數(shù)四個(gè)交點(diǎn)的排列順序，再利用求根公式計(jì)算，排除不成立者即得正確答案．

解答：解：設(shè)函數(shù)y=x²+ax+b與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，0），B（x₂，0）且x₁＜x₂（1分），
函數(shù)y=x²+bx+a與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為C（x₃，0），D（x₄，0），且x₃＜x₄（2分），
則x₁+x₂=-a≤0，x₁x₂=b＜0，則x₁＜0，x₂＞0（4分），
同理x₃+x₄=-b＞0，x₃x₄=a≥0，則x₃≥0，x₄＞0（6分），
則A、B、C、D在x軸上的左右順序?yàn)锳，B，C，D或A，C，B，D或A，C，D，B（7分），
若按A，C，D，B的順序排列，則AC=CD=DB，
則有x₃-x₁=x₄-x₂，即x₁+x₂=x₃+x₄，即-a=-b，
與假設(shè)（a≥0＞b）矛盾，此不可能（9分）．
若按A、B、C、D的順序排列，
則x₂-x₁=x₄-x₃=x₃-x₂，
由于x1，2=

-a± a2-4b

2

，
x3，4=

-b± b2-4a

2

，
則

a2-4b

=

b2-4a

，
∴（a-b）（a+b+4）=0，而a＞b，
∴a+b+4=0，又2x₃=x₂+x₄，
則2×

-b- b2-4a

2

=

-a+ a2-4b

2

+

-b+ b2-4a

2

，
化簡(jiǎn)得：a+b=3

b2-4a

+

a2-4b

，
即3

b2-4a

+

a2-4b

=-4，此不可能（11分）．
若按A、C、B、D的順序排列，則x₃-x₁=x₂-x₃=x₄-x₂，
則有x₂-x₁=x₄-x₃，且2x₃=x₁+x₂，
因此

a2-4b

=

b2-4a

，
∴（a-b）（a+b+4）=0，而a＞b，
∴a+b+4=0，又2x₃=x₂+x₁，
則2×

-b- b2-4a

2

=-a，
解之得a=0或a=-4（13分），
而a≥0，∴a=0，b=-4，經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，
a=0，b=-4滿足題設(shè)要求．故a=0，b=-4為所求（14分）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及求根公式，需要深刻理解函數(shù)與方程的關(guān)系．注意解答時(shí)要進(jìn)行分類討論．