Question

【題目】如圖所示，拋物線y=x2﹣4x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，

（1）求cos∠CAO的值；

（2）求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果有動(dòng)點(diǎn)P是y軸上，且△OPA與△OAC相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）cos∠CAO=；（2）直線AC的解析式為：y=﹣3x+3；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線y=x2﹣4x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，可以求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求得OA、OC、AC的長，進(jìn)而可以得到cos∠CAO的值；

（2）根據(jù)點(diǎn)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求得直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（3）根據(jù)第三問的條件，可知符合要求的三角形OPA存在三種情況，然后分別畫出相應(yīng)的圖形，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線y=x2﹣4x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，

∴x2﹣4x+3=0，得x=1或x=3，x=0時(shí)，y=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴OA=1，OC=3，

∴，

∴cos∠CAO=；

（2）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴

解得k=﹣3，b=3．

即直線AC的解析式為：y=﹣3x+3；

（3）如果有動(dòng)點(diǎn)P是y軸上，且△OPA與△OAC相似，

則有如下三種情況，

第一種情況如下圖1所示，

當(dāng)∠OPA=∠OCA，∠AOC=∠AOP時(shí)，△OPA∽△OAC，

∴，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴OP=OC=3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣3）；

第二種情況如下圖2所示，點(diǎn)P位于y軸正半軸，

當(dāng)∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP時(shí)，△OPA∽△OAC，

∴，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），

∴OA=1，OC=3，

∴，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）；

第三種情況如下圖3所示，點(diǎn)P位于y軸負(fù)半軸，

當(dāng)∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP時(shí)，△OPA∽△OAC，

∴，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），

∴OA=1，OC=3，

∴，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣）．

由上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．