Question

2．如圖1，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），直線y=-$\frac{4}{3}$x+4和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C點(diǎn)．
（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△MON的面積為S．
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求當(dāng)t等于多少時(shí)，S的值等于$\frac{21}{10}$？
②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），令x=0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），由勾股定理可求得BC=5，然后由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可知AB=5，故此可證明△ABC為等腰三角形；
（2）①如圖①當(dāng)M在AO上時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB，垂足為H．由題意可求得$NH=\frac{4}{5}t$，MO=2-t，由三角形的面積公式可知S=$\frac{1}{2}$•OM•NH，從而可求得s與t的函數(shù)關(guān)系式；如圖②所示：當(dāng)M在OB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB，垂足為H．由題意可求得$NH=\frac{4}{5}t$，MO=t-2，由三角形的面積公式可知S=$\frac{1}{2}$•OM•NH，從而可求得s與t的函數(shù)關(guān)系式；將S=$\frac{21}{10}$代入函數(shù)解析式，的關(guān)于t的一元二次方程，從而可求得t的值；②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，∠MON＞90°的可能，所以△ONM為鈍角三角形；當(dāng)2＜t＜5時(shí)，當(dāng)∠OMN=90°時(shí)，如圖③所示：由$\frac{BM}{NB}=\frac{OB}{BC}$，列出關(guān)于t的方程求解即可；當(dāng)t=5時(shí)．如圖④，N與C重合，可得∠OMN=90°．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形．
理由：∵令y=0得：-$\frac{4}{3}x+4$=0，解得：x=3，
∴B（3，0）．
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴C（0，4）．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=4，由勾股定理可知：BC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴BA=5．
∴BC=BA，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）①如圖①當(dāng)M在AO上時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB，垂足為H．

∵在Rt△BNH中，BN=t，$sinB=\frac{4}{5}$，
∴$NH=\frac{4}{5}t$．
∵OM=OA-AM，
∴MO=2-t．
∴S=$\frac{1}{2}$•OM•NH=$\frac{1}{2}$（2-t）×$\frac{4}{5}$t=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}t$（0＜t≤2）．
如圖②所示：當(dāng)M在OB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB，垂足為H．

∵OM=AM-AO，
∴OM=t-2．
∴S=$\frac{1}{2}$•OM•NH=$\frac{1}{2}$（t-2）×$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{4}{5}t$．（2＜t≤5）．
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{5}{t}^{2}+\frac{4}{5}t（0＜t≤2）}\\{\frac{2}{5}{t}^{2}-\frac{4}{5}t（2＜t≤5）}\end{array}\right.$．
把S=$\frac{21}{10}$代入S=$-\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t，得$-\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t=$\frac{21}{10}$，該方程無(wú)解，t值不存在．
把S=$\frac{21}{10}$代入S=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{4}{5}$t，得$\frac{2}{5}$t²-$\frac{4}{5}$t=$\frac{21}{10}$，解得，t₁=3.5，t₂=-1.5（舍去負(fù)值）．
因此，當(dāng)t=3.5時(shí)，S=$\frac{21}{10}$．
②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，∠MON＞90°的可能，所以△ONM為鈍角三角形．
當(dāng)2＜t＜5時(shí)，當(dāng)∠OMN=90°時(shí)，如圖③所示：

在Rt△BNM中，BN=t，BM=5-t，$cosB=\frac{3}{5}$，
∵M(jìn)N∥OC，
∴$\frac{BM}{NB}=\frac{OB}{BC}$，即$\frac{5-t}{t}=\frac{3}{5}$．解得$t=\frac{25}{8}$．
當(dāng)t=5時(shí)．如圖④，N與C重合，可得∠OMN=90°．

所以，當(dāng)$t=\frac{25}{8}$或者t=5時(shí)，△MON為直角三角形．
綜上所述t=5或t=$\frac{25}{8}$時(shí)，△MON為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、三角形的面積公式、銳角三角形函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出符合題意得圖形是解題的關(guān)鍵．