Question

【題目】如圖，以AB為直徑，點O為圓心的半圓上有一點C，且∠ABC＝60°，點D為AO上一點．將△DBC沿直線DC對折得到△DB'C，點B的對應點為B′，且B'C與半圓相切于點C，連接B′O交半圓于點E．

（1）求證：B'D⊥AB；

（2）當AB＝2時，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質得到∠B'CO＝90，根據等邊三角形的性質、翻轉變換的性質計算，得到∠B′DB＝90°，證明結論；

（2）求出∠B′OC＝45°，根據三角形的面積公式、扇形面積公式計算即可．

（1）證明：連接OC，

∵B'C與半圓相切于點C，

∴∠B'CO＝90，

∵OC＝OB，∠ABC＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OCB＝60°，∠B'CB＝∠B'CO+∠OCB＝90°+60°＝150°，

∵△DBC沿直線DC對折得到△DB'C，

∴∠DCB＝∠B’CB＝×150°＝75°，

在△DBC中，∠CDB＝180°﹣∠ABC﹣∠DCB＝180°﹣75°﹣60°＝45°

∴∠B′DB＝2∠CDB＝2×45°＝90°，

∴B′D⊥AB；

（2）解：∵AB＝2，△OBC是等邊三角形，

∴OC＝OB＝BC＝B'C＝1，

∵∠B'CO＝90°，

∴∠B′OC＝45°，

∴陰影部分的面積＝S△B′OC﹣S扇形EOC＝B′CCO﹣＝×1×1﹣＝ ．