Question

已知a為實常數(shù)，關于x的方程（a²-2a）x²+（4-6a）x+8=0的解都是整數(shù)．求a的值．

Answer 1

【答案】分析：此題可考慮分2種情況討論：（1）當a²-2a=0，可先解出a的值，再把a的值代入方程求解x；（2）當a²-2a≠0時，用因式分解可求x₁=，x₂=，從x₁=中可求a=，代入x₂中，易得x₁•x₂+2x₁-x₂=0，變形可得（x₁-1）（x₂+2）=-2=2×（-1）=（-2）×1=1×（-2）=-1×2，由于x₁和x₂是整數(shù)，那么x₁-1和x₂+2也是整數(shù)，于是可得關于x₁、x₂的方程組，解即可求x₁、x₂（都等于0的情況舍去），進而可求a，聯(lián)合（1）（2）可最終求出a的值．
解答：解：（1）當a²-2a=0，即a=2或a=0時有
A、a=2時，x=-2滿足要求；
B、a=0時，x=1也滿足要求；
（2）當a²-2a≠0時，
（ax-2）[（a-2）x-4]=0，
解得x₁=，x₂=，
∴a=，
∴x₂=，
∴x₁•x₂+2x₁-x₂=0，
∴（x₁-1）（x₂+2）=-2=2×（-1）=（-2）×1=1×（-2）=-1×2，
∵x₁和x₂是整數(shù)，
∴x₁-1和x₂+2也是整數(shù)，
∴或或或，
解得或或或（此情況舍去），
∴a=；-2；1．
綜合（1）（2）知a=0；1；±2；．
點評：本題考查了一元二次方程的整數(shù)根．解題的關鍵是要分2種情況討論．有一定的難度．