Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連結OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結CF．

1.當∠AOB=22.5°時，求弧AB的長度；

2.當DE=8時，求線段EF的長；

3.在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.連結BC,

∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,∵∠AOB=22.5°,∴∠ACB=2∠AOB=45°,

∴弧AB的長=; 

2.連結OD,

得OE=,∴AE=AO－OE=10-6=4,

由△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；或12

3.設OE=x，

①當交點E在O，C之間時，∴E₁（，0）；∴E₂（，0）;

②當交點E在點C的右側時，

△CEF∽△AED, ∴,而AD=2BE,    ∴,

即,  解得, ＜0（舍去），∴E₃（，0）;

③當交點E在點O的左側時，

△  CEF∽△AED,  ∴，而AD=2BE,   

 

∴,∴,    解得,

＜0（舍去）,  ∴E₄（，0）,

綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,

此時點E坐標為：

（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

 解析:略