Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx經(jīng)過點(diǎn)（4，0），頂點(diǎn)為M．
（1）求b的值；
（2）將該拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移n個(gè)單位長度，平移后的拋物線與x軸交于A（6，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．①試求n的值；②在第二象限內(nèi)的拋物線y=x²+bx上找一個(gè)點(diǎn)P，使得：S_△PBC=S_△MBC，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)（4，0）代入拋物線的解析式即可求出b的值；
（2）①把（1）的拋物線解析式配方化為頂點(diǎn)式，因?yàn)槭窃搾佄锞�沿它的對(duì)稱軸向下平移n個(gè)單位長度，所以可設(shè)拋物線平移后的解析式為y=（x-2）²-1-n，再把于x軸交點(diǎn)A（6，0）的坐標(biāo)代入求出n的值即可②過點(diǎn)M作直線PM∥BC交拋物線于P，則S_△PBC=S_△MBC，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，把B，C的坐標(biāo)代入求出k為-，再設(shè)直線PM的解析式為y=-x+b，利用已知條件求出b的值，因?yàn)槠揭坪蟮膾佄锞�與直線PM交于P，所以（x-2）²-4=-x+2，進(jìn)一步解方程求出滿足題意的x值，再把x值代入直線PM的解析式求出y即P的縱坐標(biāo)．
解答：解：（1）把點(diǎn)（4，0）代入拋物線y=x²+bx，
 解得：b=-1；

（2）
①由（1）得：y=x²-x=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)M（2，-1）
設(shè)拋物線平移后的解析式為y=（x-2）²-1-n
∵平移后的拋物線與x軸交于A（6，0），
∴（6-2）²-1-n=0，
  解得：n=3；
②過點(diǎn)M作直線PM∥BC交拋物線于P，則S_△PBC=S_△MBC，
由①得：平移后的解析式為y=（x-2）²-4，其圖象與x軸交點(diǎn)B（-2，0），
與y軸交點(diǎn)C（0，-3）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m
∴，
解得：，
∴y=-x-3
設(shè)直線PM的解析式為y=-x+b，并把M（2，-1）代入得：b=2，
∴y=-x+2，
∵平移后的拋物線與直線PM交于P，
∴（x-2）²-4=-x+2，
整理得：x²+2x-8=0  解得：x₁=-4，x ₂=2 （不合題意，舍去）
當(dāng)x₁=-4時(shí)，y=-×（-4）+2=8
∴點(diǎn)P（-4，8）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到待定系數(shù)求出拋物線的解析式，拋物線的頂點(diǎn)公式拋物線的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)；拋物線的平移，看頂點(diǎn)的平移即可；左右平移，只改變頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加；上下平移，只改變頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，上加下減．